2つの極限の定義、どちらが優れてる?

1 132人目の素数さん 2018/03/11(日) 23:12:41 ID:
・極限の定義には2通りある。
・1つ目はx=aを含めない定義。
・2つ目はx=aを含む可能性がある定義。
・後者は私が使ってる「解析入門I 杉浦光夫」での定義。
・一般的に前者の定義が多い。
・杉浦さんが後者の定義を使っているの理由は「前者の定義だとある定理を証明するのに不都合が生じる」から。

聞きたいこと!
・前者の定義ではその定理をどうやって証明しているのか?
・どちらの定義が優れているか?


ネタ元
「大学学部レベル質問スレ 10単位目」の>>300
http://itest.5ch.net/rio2016/test/read.cgi/math/1519715377

2 132人目の素数さん 2018/03/11(日) 23:16:53 ID:
解析入門I 杉浦光夫
p51 定義2 極限の定義
p52 定義3 極限の定義
p53 定理6.2 問題の定理
p54 注意1 杉浦さんの主張


定義2
fをR^nの部分集合Aで定義され、R^mの値を取る関数とし、a∈(Aの閉集合)、b∈R^mとする。xがaに近づくときのf(x)の極限がbであるとは、どんな ε>0 に対しても、δ>0 が存在して、|x-a|<δ となるすべてのx∈Aに対し |f(x)-b|<ε となることを言う。このとき
lim_{x→a} f(x) =b, f(x)→b (x→a)
などと表す。


定義3
定義2において、B⊆A が与えられ、a∈(Bの閉集合)であるとき、任意の ε>0 に対し δ>0 が存在して、|x-a|<δ となる任意の x∈B に対し |f(x)-b|<ε となるとき、xがB内でaに近づくときのf(x)の極限がbであるといい、
lim_{x→a, x∈B} f(x) =b または f(x)→b (x→a, x∈B)と記す。
x∈Bと記す代わりにBを規定する条件を書くことも多い。例えば a∈A のとき B={x∈A|x≠a} ならば lim_{x→a, x∈B} f(x) を lim_{x→a, x≠a} f(x) と記す。

3 132人目の素数さん 2018/03/11(日) 23:19:12 ID:
定理6.2
B⊆A⊆R^n, f:A→R^m, a∈(Bの閉集合)とするとき, 次のa),b)は同値である
a) f(x)→b (x→a, x∈B)
b) x_n→a (n→∞)となる任意のBの点列x_nに対して, f(x_n)→b (n→∞)である



注意1 ※()は付け足したものです。
a∈A のとき多くの本では我々の記号での
lim_{x→a, x≠a} f(x) を単に lim_{x→a} f(x) と書き、これを極限としている(前者の定義)。a∈A のとき我々の意味での極限(後者の定義)が存在すれば f(a)に等しくなくてはならぬが、このような定義(前者の定義)ではそうでなくてもよい。
しかしこのような定義(前者の定義)に対しては定理6.2のb)の点列にx_n≠aという条件をつけなければならない。また我々の定義(後者の定義)は x≠a という条件をつけることにより、この意味での極限(前者の定義)をも含むので、こちらを定義(後者の定義)に採用した。

4 132人目の素数さん 2018/03/11(日) 23:29:44 ID:
>>2
定義3が切れてましたm(_ _)m


定義3
定義2において、B⊆A が与えられ、a∈(Bの閉集合)であるとき、任意の ε>0 に対し δ>0 が存在して、|x-a|<δ となる任意の x∈B に対し |f(x)-b|<ε となるとき、xがB内でaに近づくときのf(x)の極限がbであるといい、
lim_{x→a, x∈B} f(x) =b または f(x)→b (x→a, x∈B)と記す。
x∈Bと記す代わりにBを規定する条件を書くことも多い。例えば a∈A のとき B={x∈A|x≠a} ならば lim_{x→a, x∈B} f(x) を lim_{x→a, x≠a} f(x) と記す。

5 132人目の素数さん 2018/03/11(日) 23:31:00 ID:
この本に、両定義の違いが解説してある。太古の必読書。
http://www.gensu.co.jp/book_print.cgi?isbn=978-4-7687-0366-3

6 132人目の素数さん 2018/03/11(日) 23:37:54 ID:
>>5
初めて知りました!借りて読んでみます!

7 132人目の素数さん 2018/03/12(月) 13:52:45 ID:
b)の命題に x_n ≠ a を付けるだけだろ

8 132人目の素数さん 2018/03/12(月) 14:50:48 ID:
>>1
・前者の定義ではその定理をどうやって証明しているのか?
については解決しました。

・どちらの定義が優れているか?
これが知りたい。

9 132人目の素数さん 2018/03/12(月) 16:10:25 ID:
ああ、詳細に書いてくれてたのね
ありがとう

>聞きたいこと!
>・前者の定義ではその定理をどうやって証明しているのか?

これは
点列にx_n≠aという条件を入れるだけ、証明は同様


>・どちらの定義が優れているか?

x=aを含める方式
メリット
含めない場合を包含できるため理論としては使える場面が増える

デメリット
標準からずれるため学ぶ人は後々大変かもね
微分の定義とかaで定義されてない関数を考えるのにいちいちh≠aとか書かなくてはいけない


x=aを含めない方式
メリット
aでの定義を気にせず使える
いちいちx≠aなど書かなくて済む


デメリット
x=aを含めて等式や不等式の極限を考えたいときは分けて考える必要あり
点列式などの言い換えでx_n≠aなどの条件をつけなくてはいけない(そこまでデメリットとは感じないが)




備考
デメリットでまとめて極限を取りたい場合は分ける必要ありと述べたが、等式や不等式で極限を飛ばす際はそもそも元となる式にx=aの場合が入っているのでまとめて極限を飛ばす必要がある場面、というのが実用上想像できない
ちなみに解析系の理論や研究ではhが分母にあってlim_{h→0}なんて死ぬほど使う
微分だけじゃなくて近似でちょっとだけずらして極限飛ばすとか考えることが多いので0とかは入ってないほうが有り難い

いちいちh ≠0やλ≠0なんて書いてたらロスが大きい

あと個人的な感覚で言えば、"極限"というものはあくまで近づけた先の話なので、
極限での定義域は入っていないほうが自然
x=aを含めるというのはどちらかというと連続性を表しているような気がして言葉のイメージとずれる

他にも思いついたら書いてく

10 132人目の素数さん 2018/03/12(月) 21:48:15 ID:
歴史的には、定義域の端まで関数を延長すると、、、
ってことから極限の取り扱いが始まったんだろうから、
x≠a の定義のほうが自然だったんだろうが、
>>9 のいうように、x=a を含める定義は
連続性の定義と馴染むから、現代ではこちらが普通かと。
使った教科書の年代によるんじゃないかね?

11 132人目の素数さん 2018/03/13(火) 04:45:55 ID:
>>10
実際現在は近似とかが主流なので含めないのがよく使われると思う
含めることで、連続性の定義が「lim が存在する」となるか、含めないことで「lim f(x)=f(a)」となるかにそんなに違いはないし
個人的な感想だと連続性は「極限がその点の値と一致する」といったように、極限の定義に含めるよりかは極限を用いて定義される性質のほうが自然かな

12 132人目の素数さん 2018/03/13(火) 12:36:09 ID:
>>1です
x=aを含める方の最大のメリットであるxn≠aという条件をつけなくていいという点が、実用上大してありがたくないとしたら

x=aを含める方は扱いづらいし、極限の感覚からずれているので、x=aを含めない方が優れているんですかね

杉浦さんはどうしてxn≠aという条件をつけなくていいという理由だけのためにx=aを含める定義を採用したんでしょうかね?本人にしかわからないと思いますが

13 132人目の素数さん 2018/03/13(火) 12:48:41 ID:
定義域を広くするのが数学の趨勢

14 132人目の素数さん 2018/03/13(火) 15:04:14 ID:
>>2 >>3 >>4
訂正
閉集合→触集合

15 132人目の素数さん 2018/03/13(火) 15:56:50 ID:
これの方が優れてるに決まってる
https://goo.gl/fXQHan

16 132人目の素数さん 2018/03/13(火) 16:39:43 ID:
>>1
糞スレ乙

17 132人目の素数さん 2018/03/13(火) 17:14:25 ID:
>>16
糞コメ乙

18 132人目の素数さん 2018/03/13(火) 23:57:31 ID:
広義極限と狭義極限

19 132人目の素数さん 2018/03/14(水) 08:49:25 ID:
>>12
>>13
そう、理論としては扱える対象が広くなるからそれ自体は優れている

ただ、既存の定義で扱えるものを表すときに、同じ記号で異なった定義になってしまうのがよろしくない
扱える範囲を広げることによるメリットが薄いのも一つ

20 132人目の素数さん 2018/03/15(木) 17:40:17 ID:
連続関数の定義域を狭くしても連続関数
これが定義域を1点にした時に例外になると不便

21 132人目の素数さん 2018/03/15(木) 20:11:04 ID:
どっちの定義でも連続関数の定義自体は変わらないと思うが

22 132人目の素数さん 2018/03/16(金) 14:38:49 ID:
おんなじ表記で別の意味になるならば

杉浦でのlim_{x→a}f(x)の意味を
lim_{x→a,x=a}f(x)という表記に

杉浦でのlim_{x→a,x≠a}f(x)の意味を
lim_{x→a}f(x)という表記に

変えた方がよさそうですね

23 132人目の素数さん 2018/03/16(金) 15:08:36 ID:
そうするしかないね、特に混同が支障となり厳正精確に語らなければならない時は

24 132人目の素数さん 2018/03/16(金) 23:05:20 ID:
杉浦の表記で十分なんじゃないの?
既に普及している定義だし。
俺は変える!で済む話でもなさげ。

25 132人目の素数さん 2018/03/17(土) 10:16:44 ID:
いうほど普及してないぞ

26 132人目の素数さん 2018/03/17(土) 10:18:24 ID:
てか、杉浦の極限の定義は一般の物と異なるので注意、と割と聞くレベル
一般的な場で使うときは杉浦式は使わないほうがいい

27 132人目の素数さん 2018/03/17(土) 14:34:08 ID:
位相論だと、杉浦式が普通じゃない?

28 132人目の素数さん 2018/03/17(土) 14:54:37 ID:
>>27
位相空間でも杉浦式はあんまり見たことないけど、なんの本?(あるいはなんの理論?)

29 132人目の素数さん 2018/03/22(木) 19:56:20 ID:
つかまともな学生ならみんなrudinで勉強するんじゃないの?

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