現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む48

1 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/14(木) 06:50:59 ID:
“現代数学の系譜 物理工学雑談 古典ガロア理論も読む”

数学セミナー時枝記事は、過去スレ39 で終わりました。
39は、別名「数学セミナー時枝記事の墓」と名付けます。

皆さまのご尽力で、伝統あるガロアすれは、
過去、数学板での勢いランキングで、常に上位です。(勢い1位の時も多い(^^ )

このスレは、現代数学のもとになった物理工学の雑談スレとします。たまに、“古典ガロア理論も読む”とします。
それで良ければ、どうぞ。
後でも触れますが、基本は私スレ主のコピペ・・、まあ、言い換えれば、スクラップ帳ですな~(^^

話題は、散らしながらです。時枝記事は、気が向いたら、たまに触れますが、それは私スレ主の気ままです。
“時枝記事成立”を支持する立場からのカキコや質問は、基本はスルーします。それはコピペで流します。気が向いたら、忘れたころに取り上げます。

なお、
小学レベルとバカプロ固定
サイコパスのピエロ(不遇な「一石」https://textream.yahoo.co.jp/personal/history/comment?user=_SrJKWB8rTGHnA91umexH77XaNbpRq00WqwI62dl 表示名:ムダグチ博士 Yahoo! ID/ニックネーム:hyperboloid_of_two_sheets (Yahoo!でのあだ名が、「一石」)
(参考)http://blog.goo.ne.jp/grzt9u2b/e/c1f41fcec7cbc02fea03e12cf3f6a00e サイコパスの特徴、嘘を平気でつき、人をだまし、邪悪な支配ゲームに引きずり込む 2007年04月06日
High level people
低脳幼稚園児のAAお絵かき
お断り!
小学生がいますので、18金よろしくね!(^^

High level people は自分達で勝手に立てたスレ28へどうぞ!sage進行推奨(^^;
また、スレ43は、私が立てたスレではないので、私は行きません。そこでは、私はスレ主では無くなりますからね。このスレに不満な人は、そちらへ。 https://2ch.live/cache/view/math/1506152332
旧スレが512KBオーバー(間近)で、新スレ立てる
(スレ主の趣味で上記以外にも脱線しています。ネタにスレ主も理解できていないページのURLも貼ります。関連のアーカイブの役も期待して。)

2 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/14(木) 06:53:36 ID:
過去スレ (そのままクリックで過去ログが読める。また、ネット検索でも過去ログ結構読めます)
現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む
47 https://2ch.live/cache/view/math/1512046472
46 https://2ch.live/cache/view/math/1510442940
45 https://2ch.live/cache/view/math/1508931882
44 https://2ch.live/cache/view/math/1506848694
43 https://2ch.live/cache/view/math/1506152332 (だれかが立ててスレ。私は行きません。このスレに不満な人は、そちらへ)
42 https://2ch.live/cache/view/math/1505609511
41 https://2ch.live/cache/view/math/1504332595
40 https://2ch.live/cache/view/math/1503706544
(40以降現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む)
(39以前 現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む)
39 https://2ch.live/cache/view/math/1503063850 (別名 数学セミナー時枝記事の墓)
38 https://2ch.live/cache/view/math/1502430243
37 https://2ch.live/cache/view/math/1501561433
36 https://2ch.live/cache/view/math/1499815260
35 https://2ch.live/cache/view/math/1497848835
(35以降 現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む
34以前 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む)
34 https://2ch.live/cache/view/math/1496568298
33 https://2ch.live/cache/view/math/1495860664
32 https://2ch.live/cache/view/math/1495369406
31 https://2ch.live/cache/view/math/1494038985
30 https://2ch.live/cache/view/math/1492606081
29 https://2ch.live/cache/view/math/1484442695
28 (High level people が自分達で勝手に立てた時枝問題を論じるスレ) https://2ch.live/cache/view/math/1483314290
27 https://2ch.live/cache/view/math/1483075581
26 https://2ch.live/cache/view/math/1480758460

以下次へ

3 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/14(木) 06:56:48 ID:

4 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/14(木) 06:57:08 ID:
以下、暫くテンプレ貼りを続けます。

5 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/14(木) 06:57:31 ID:
大学新入生もいると思うが、間違っても2CHで数学の勉強なんて思わないことだ
このスレは、趣味と遊びのスレと思ってくれ(^^;

以下過去スレより再掲
http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1492606081/7
7 自分:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[sage] 投稿日:2017/04/19(水) 22:07:49.66 ID:gLi5Ebjw
まあ、過去何年かにわたって、猫さん、別名、¥ ◆2VB8wsVUooさんが、数学板を焼いていたからね
ガロアスレは別として、数学板は焼け跡かな

再生は無理だろう
そもそも、2CHは、数学に向かない

アスキー字に制限され、本格的な数学記号が使えない
複数行に渡る記法ができない

複数行に渡る矢印や、図が描けない(AA(アスキーアート)で数学はできない)
大学数学用の掲示板を、大学数学科が主体となって、英語圏のような数学掲示板を作った方がいいだろうな、実名かせめてハンドルネーム必須でね、プロないしセミプロ用のを

6 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/14(木) 06:58:19 ID:
個人的には、下記は、”知恵袋の人>>> 2chの人”と思うよ(^^

http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1484442695/494
494 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[sage] 投稿日:2017/04/17(月) ID:mNM7pqkU
前にも紹介したが、新入生もいるだろうから、下記再掲しておく。なお、信用できないに、私スレ主も含めること。定義から当然の帰結だが(^^;

https://note.chiebukuro.yahoo.co.jp/detail/n98014
Yahoo 知恵袋
数学の勉強法 学部~修士
ライター:amane_ruriさん(最終更新日時:2012/8/6)
ナイス!:5閲覧数:11594
(抜粋)
私は修士1年生ですので、正直に言いますとこの部分はあまり書いているのが正しいとは思えません。趣味で書いているものだと認識していただければ良いのではないかと思っております。
大学3、4年に入ってまず怖いのが数学の本の氾濫でしょう。まず何を読んで何をすればいいのか分からなくなります。
そして、自分のやっていることがいかにちっぽけな存在なのかというのを実感させられます。(多分皆がそうでしょう。)そして、結果が問われてきます。
ここで、数学科は「入るのは易しいけどプロになるのは難しい」ということが実感させられてきます。
2012年8月3日現在、書泉グランデで有名数学者の薦める本がありました。森重文先生を初めとして本の多さに圧倒されました。(足立恒雄先生は信頼と安心のブレなさ)

2.2chの内容は信用できるか?
基本的に信用できません。先生>周りの人>>> 2chや知恵袋の人です。何故かというといつも同じことしか言っていないから。多分きちんと検証していないで想像で議論しているだけではないのかと私は思っています。
(まあ、自分もあんまり信用できないけど)
数学をする場合は、問題が解けることも重要なのですが問題設定を作ることが大切です。そういう時に、どういう風に学んできたのかとか、正確な知識がどういう部分でどれだけ持っているのか、調和性や、生まれて来た環境っていうのが重要になってきます。
ただ、それがどうも2chの人は見られない(し、そもそも偉そうなことを言っている人が本当にできるかどうか分からない。)。こういう類のものは勉強不足ですとか、分かっていませんでしたで済まされるものではないと個人的には思うのですが。
(引用終り)

7 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/14(木) 06:59:18 ID:
過去スレより
http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1484442695/338
338 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[sage] 投稿日:2017/04/09(日) 23:46:26.46 ID:Rh9CzQs6
スレ主は、皆さんの言う通り、馬鹿であほですから、基本的に信用しないようにお願いします
大体、私は、自分では、数学的な内容は、筆を起こさない主義です

じゃ、どうするかと言えば、出典明示とそこからの(抜粋)コピペです
まあ、自分なりに、正しそうと思ったものを、(抜粋)コピペしてます

が、それも基本、信用しないように
数学という学問は特に、自分以外は信用しないというのが基本ですし

”証明”とかいうらしいですね、数学では
その”証明”がしばしば、間違っていることがあるとか、うんぬんとか

有名な話で、有限単純群の分類
”出来た!”と宣言した大先生が居て、みんな信用していたら、何年も後になって、”実は証明に大穴が空いていた”とか

おいおい、競馬じゃないんだよ(^^;

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%98%E7%B4%94%E7%BE%A4
単純群
1981年にモンスター群が構成されてからすぐに、群論の研究者たちがすべての有限単純群を分類したという、合計10,000ページにも及ぶ証明が作られ、1983年にダニエル・ゴレンスタインが勝利を宣言した。
これは時期尚早だった、というのはいくつかのギャップが、特に準薄群(英語版)の分類野中で発見されたからである。このギャップは2004年に1300ページに及ぶ準薄群の分類によって埋められており、これは現在は完璧であると一般に受け入れられている。

8 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/14(木) 07:00:32 ID:
>>7 補足
http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1492606081/352
352 自分:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[sage] 投稿日:2017/04/29(土)
みんな、何に価値をおいているか、それぞれだろうが・・
個人的には、数学板で一番価値を置いているのは、確かな情報 つまり 根拠の明確な情報 つまり コピペ

わけのわからん名無しさん(素数さん)のカキコを真に受けるとか、価値をおく人は少ないだろう
きちんと、大学教員レベルの証明があればともかく、匿名板でそれはない(名無しカキコは基本価値なし)

9 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/14(木) 07:01:04 ID:
>>8 補足
<数学ディベート>について
過去スレより
http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1494038985/50
50 自分:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[sage] 投稿日:2017/05/06
どこの馬の骨ともしれん連中との、数学ディベートもどきより
URLとコピペやPDFの方によほど価値を見いだすスレ主です(^^;
http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1494038985/189-190
189 自分:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[sage] 投稿日:2017/05/09

いやはや、(文系) High level people たち( ID:jEMrGWmk さん含め)の、数学ディベートもどきは面白いですね(^^;
”手強い?”とは・・、まさに、ディベートですね

私ら、理系の出典(URL)とコピペベース、ロジック(論証)&証明重視のスタンスと、ディベートもどきスタイル(2CHスタイル?)とは、明白に違いますね
私ら、(文系) High level people たちとの議論は、時間とスペースの無駄。レベルが高すぎてついていけませんね。典拠もなしによく議論しますね。よく分かりましたよ(^^;

190 自分返信:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[sage] 投稿日:2017/05/09
私ら、理系は、一応従来の議論は調べて、その上でしか議論はしません
そうしないと、大概二番煎じですし、車輪の再発明ですから

典拠もなしによく議論しますね~。よく分かりましたよ(^^;
私とは、議論がかみ合わないわけだ・・

”他サイトからのコピペでスレを埋め尽くす行為” なんて非難されましたけどね~(^^;
ディベートに勝ちたいからそういう発言なんですね~。典拠もなしで、出した典拠も読まない議論か・・。よく分かりましたよ(^^;

10 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/14(木) 07:01:30 ID:
過去スレより
http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1497848835/638
638 名前:現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む[sage] 投稿日:2017/07/11(火) 08:40:28.58 ID:+FRiTcES
>>630
おっちゃん、どうも、スレ主です。

>>まあ、おっちゃんが、上記を理解したら、時枝は終わりにしよう
>マジメに時枝問題のことでスレ主に付き合う気はなく、
>もはやそういうことをする価値もない。
>スレ主自身の主張や考え方が大きく間違っていることを私のせいにするべきではない。

いやいや、おっちゃんよりレベルの低い人と議論するつもりはないんだよ~(^^
がまあ、おっちゃんのいう「価値もない」にも一理ある
ということで、皆さん悪いが、時枝は、一時棚上げだ。時々やろう

下記のパロディーで言えば、「数学雑談&ガロア理論 ~おっちゃんとボクと、時々、(時枝 & ¥さん)~」かな(^^
まあ、話題を散らしながら、ゆっくりやりましょう(^^
おっちゃん! いま気になっていることを、好きに書いてくれ!(^^
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9D%B1%E4%BA%AC%E3%82%BF%E3%83%AF%E3%83%BC_%E3%80%9C%E3%82%AA%E3%82%AB%E3%83%B3%E3%81%A8%E3%83%9C%E3%82%AF%E3%81%A8%E3%80%81%E6%99%82%E3%80%85%E3%80%81%E3%82%AA%E3%83%88%E3%83%B3%E3%80%9C
東京タワー ~オカンとボクと、時々、オトン~ - Wikipedia
(抜粋)
『東京タワー ~オカンとボクと、時々、オトン~』(とうきょうタワー オカンとボクと、ときどき、オトン)は、リリー・フランキーの実体験を基にした長編小説である。
2006年と2007年にテレビドラマ化(単発ドラマと連続ドラマ)、2007年に映画化、舞台化されている。

2005年6月29日、扶桑社より発売された[1]。装丁もリリー本人。初版は3万部だった。2006年1月には100万部を突破。2006年10月31日には200万部(扶桑社発表)を越すベストセラーとなった。

久世光彦が「泣いてしまった…。これは、ひらかなで書かれた聖書である」と評価した。
(引用終り)

11 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/14(木) 07:02:10 ID:
「現代数学のもとになった物理工学」の解題:
言わずもがなですが、数学の発展の大きな原動力は、物理です。数学の発展の大きな原動力は、工学です。

別に説明するほどのこともないですが。
古代の幾何学の背景に、実際の土地測量や巨大建築からの要請が原動力にあったことは間違いないでしょう。

ニュートン以来の解析や数論も同様。
で、物理学の背景に、工学に直結する日常のいろいろな事象がある。戦争というのも、大きな要因ではあります。仏エコールポリテクニークなども、ナポレオン戦争遂行のための工学校です。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A8%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%83%BB%E3%83%9D%E3%83%AA%E3%83%86%E3%82%AF%E3%83%8B%E3%83%BC%E3%82%AF エコール・ポリテクニーク 1804年にナポレオン・ボナパルトによって軍学校とされる)

工学が物理の進展を促した面は多々あります。有名なプランクの熱と光の放射の理論を研究した背景に、当時の工学的課題であった、高温物体を光学測定により正確な温度を知るため(今の光温度計)であったと言われています。
つまり、工学的課題「高温物体を光学測定により正確な温度を知るための光温度計」→物理的課題「高温物体の光放射理論構築」→プランクの量子仮説→量子力学の誕生→作用素環→非可換幾何(現代数学)ということなのです。

コンヌ先生もおっしゃっているそうですが、物理や工学の課題は、いままでもそうですが、現代数学のエネルギー源なのです。
京大数学科がだめになったのは、「20世紀の古い数学に閉じこもってしまった」というようなことがあるのではないでしょうか? 新しい数学へのチャレンジが無い?
(参考 過去スレ39 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1503063850/476 (抜粋)「自己顕示欲だけが目的で人生を送り、ほんで他人の邪魔ばっかししてるから筑波とか京大みたいになってアカン様になんのや。」 )

12 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/14(木) 07:04:25 ID:
時枝問題(数学セミナー201511月号の記事)まとめについては
スレ47 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1512046472/11-67
ほぼほぼ、時枝は、「ぷふ」さんのおかげで完全終了です! \(^^)/

テンプレ以上です。

13 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/14(木) 07:13:46 ID:
sage

14 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/14(木) 07:14:08 ID:
(前スレから)

現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む47
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1512046472/605
(抜粋)
”――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
R-B_f = (リプシッツ不連続な点全体の集合) が可算無限集合であり、
しかもこれが R の中で稠密であるとすると、「そういう関数は数学的に存在しえない!」
という理解の仕方でいいのか?
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
ということになるが、その理解の仕方で問題ない。”
(引用終り)

となってね
これの成否や如何に?
いや~、楽しい話です(^^

リプシッツ連続の勉強になるわ~
いままで、不勉強でしたからね~
どなたか詳しい人、おしえてね~
(^^

15 132人目の素数さん 2017/12/14(木) 07:27:04 ID:
>>12
>ほぼほぼ、時枝は、「ぷふ」さんのおかげで完全終了です! \(^^)/
一言も見解を語れないぷのおかげで完全終了とは? 頭大丈夫か?

16 132人目の素数さん 2017/12/14(木) 07:34:02 ID:
>リプシッツ連続の勉強になるわ~
>いままで、不勉強でしたからね~
お前の不勉強はレベルが違うわw
εδすら理解してないのに何がリプシッツ連続だバカw

17 132人目の素数さん 2017/12/14(木) 07:44:36 ID:
L^1においてu∈L^1に対し
Cu(x)
=∫_[-1/3, 1/3]cos(xy)u(y)dy
で作用素Cを定めるとL^1からL^1への縮小写像になりルベーグの収束定理と縮小写像の原理により不動点の存在が言える

という例を考えたが意味はない

18 132人目の素数さん 2017/12/14(木) 07:47:50 ID:
ルベーグ積分によってノルムとノルムから定まる距離
による距離空間を定めてルベーグの収束定理と縮小写
像の原理を使えば見た目では分からない不動点の存在
が示せるというだけ

19 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/14(木) 08:22:03 ID:
>>15-16

最下位の腰巾着、必死だな(^^
あんたには、”成りすまし疑惑”を言い立てるしか、救いがないんだろ。がんばれよ(^^

20 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/14(木) 08:25:58 ID:
>>14 関連

えーと
スレ46 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1510442940/422
422 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2017/11/20(月) 16:45:28.40 ID:sVbA75bK [2/4]
>>421のリンク先の証明は個人的には すんなり頭に入ってこないので、
微分可能な点の方から攻める方針でやってみたら、次の定理が得られた。

定理:f:R → R に対して、B_f={ x∈R|limsup[y→x]|(f(y)-f(x))/(y-x)|<+∞ } と置く。
もし R-B_f が高々可算無限個の疎な閉集合の和で被覆できるならば、f はある開区間の上で
リプシッツ連続である。

この定理を使うと、f:R → R であって、「xが有理数のとき不連続、xが無理数のとき微分可能」
となるものは存在しないことが即座に分かる。一応やってみると、そのような関数 f が存在したとすると、

R-Q = 無理数全体 = (fの微分可能点全体) ⊂ B_f

となるので、

R-B_f ⊂ Q = ∪[p∈Q] { p } …(1)

となる。(1)の右辺は疎な閉集合の可算和だから、上の定理が使えて、f はある開区間(a,b)の上で
リプシッツ連続になる。特に、(a,b)の上で連続になる。QはR上で稠密だから、x∈(a,b)∩Qが取れる。
仮定から、fは点xで不連続であるが、しかしx∈(a,b)より、fは点xで連続であり、矛盾する。
(引用終り)

21 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/14(木) 08:34:39 ID:
>>20 つづき

それで

命題A
f:R → R であって、「xが有理数のとき不連続、xが無理数のとき微分可能」
となるものは存在しない
 ↓
命題B
f:R → R であって、「xがリプシッツ”不”連続な点が加算無限個で稠密に存在し、xがそれ以外でリプシッツ連続な」
となるものは存在しない

つまり、命題A→命題Bの言い換え

・有理数→加算で稠密に存在する点
・不連続→リプシッツ”不”連続
・微分可能→リプシッツ連続

ここまで、命題Aを一般化した命題Bを証明したことになる
>>20の定理が成立するならば・・

いや~、面白ね(^^

22 132人目の素数さん 2017/12/14(木) 16:36:52 ID:
数学で分からない事があったら、ここに書いてね‼

23 132人目の素数さん 2017/12/14(木) 18:22:52 ID:
おっちゃんです。
もっと簡単に ε-δ で示せそうですな。

[第1段]:区間Iで定義された有理数で不連続、無理数で連続な実関数 f(x) が存在するとする。
Iの有理数aを任意に取る。実関数 f(x) は x=a で不連続だから、或るεが存在して、εに対して正の実数 δ(ε) が定まって、
|a-b|<δ(ε) であって |f(a)-f(b)|≧ε を満たすようなIの点bが存在する。
S_1={ c∈I | cは無理数で、|c-a|<δ(ε) }、S_2={ c∈I | cは無理数で、|c-b|<δ(ε) } とおく。
すると、区間Iは連結な実数直線Rの部分空間だから、無理数の稠密性から、
max(|c-a|, |c-b|)<δ(ε) なるIの無理数cが存在し、(S_1)∩(S_2)≠Φ。
有理数の稠密性から、0<d<ε なる有理数dが存在して、0<d/2<ε/2。A=d/2 とおく。

24 132人目の素数さん 2017/12/14(木) 18:25:40 ID:
[第2段]:i=1,2 を任意に取る。iに対して点 c∈(S_1)∩(S_2) を任意に取る。
実関数 f(x) はIの無理数cで連続だから、Aに対して或る正の実数 δ'(A) が定まって、
M=δ'(A) とおくと、|c-x|<M のとき |f(c)-f(x)|<A となる。
|c-x_{i,1}|<M なるIの点 x_{i,1} を適当に取り、
|f(c)-f(x_{i,1})|<ε_{i,1}<A を満たす正の実数 ε_{i,1} を任意に取る。
2以上の正整数nを任意に取る。同様に、|c-x_{i,n}|<M なるIの点 x_{i,n} を適当に取り、
|f(c)-f(x_{i,n})|<ε_{i,n}<ε_{i,1} を満たす正の実数 ε_{i,n} を任意に取る。
同様に、|c-x_{i,n+1}|<M なるIの点 x_{i,n+1} を適当に取り、
|f(c)-f(x_{i,n+1})|<ε_{i,n+1}<ε_{i,n} を満たす正の実数 ε_{i,n+1} を任意に取る。
2以上の正整数nは任意であるから、nについて帰納的に考えると、任意の2以上の正整数nに対して
次の条件をすべて同時に満たすようなIの実数 x_{i,n}, x_{i,(n+1)} と正の実数 ε_{i,n}, ε_{i,(n±1)} が存在する:
ⅰ):|c-x_{i,n}|<M、|f(c)-f(x_{i,n})|<ε_{i,n}<ε_{i,(n-1)}、
ⅱ):|c-x_{i,(n+1)}|<M、|f(c)-f(x_{i,(n+1)})|<ε_{i,(n+1)}<ε_{i,n}。
ここに、|c-x_{i,1}|<M、|f(c)-f(x_{i,1})|<ε_{i,1}<A。
このとき構成された正の実数列 { ε_{i,n} } は単調減少である。{ ε_{i,n} } は下に有界で、
任意の正整数nに対して ε_{i,n}, x_{i,n} は |f(c)-f(x_{i,n})|<ε_{i,n} を満たすから、
iに対して或る非負実数 μ_i が存在して { ε_{i,n} } は μ_i に収束し、
任意の正整数nに対して μ_i≦|f(c)-f(x_{i,n})|<ε_{i,n}。
iに対して (S_1)∩(S_2) の点 c が任意に取れて、i=1,2 は任意だったから、各 i=1,2 に対して、点 c∈(S_1)∩(S_2) を任意に取れば、
すべての正整数nについて条件 |c-x_{i,n}|<M を満たすようなIの点列 { x_{i,n} } が任意に取れて、
更にiに対して正の単調減少列 { ε_{i,n} }、及び或る非負実数 μ_i がそれぞれ定まって、
{ ε_{i,n} } は μ_i に収束し、任意の正整数nに対して μ_i≦|f(c_i)-f(x_{i,n})|<ε_{i,n}<A=d/2 となる。

25 132人目の素数さん 2017/12/14(木) 18:32:53 ID:
[第3段]:無理数 c_1∈(S_1)∩(S_2) を任意に取る。A=d/2 となって |f(a)-f(b)|≧ε>d=2A となることに着目し、三角不等式に注意すると、
任意に、すべての正整数nについて条件 |c_1-x_{1,n}|<M を満たし、かつ或る正整数 m'_1 に対して x_{1, m'_1}=a であり、
すべての n≠m'_1 なる正整数nに対して x_{1,n}≠b となるようなIの点列 { x_{1,n} } が取れる。
そして、正の単調減少列 { ε_{1,n} }、及び或る非負実数 μ_1 がそれぞれ定まって、{ ε_{1,n} } は μ_1 に収束し、
このとき任意の正整数nに対して μ_1≦|f(c_1)-f(x_{1,n})|<ε_{1,n}<A となる。
同様に、無理数 c_2∈(S_1)∩(S_2) を任意に取れば、任意に、すべての正整数nについて条件 |c_2-x_{2,n}|<M を満たし、
かつ或る正整数 m'_2 に対して x_{2, m'_2}=b であり、すべての n≠m'_2 なる正整数nに対して x_{2,n}≠a となるような
Iの点列 { x_{2,n} } が取れる。そして、正の単調減少列 { ε_{2,n} }、及び或る非負実数 μ_2 がそれぞれ定まって、
{ ε_{2,n} } は μ_2 に収束し、このとき任意の正整数nに対して μ_2≦|f(c_2)-f(x_{2,n})|<ε_{2,n}<A となる。
[第4段]:従って、c_1=c_2 として、点 c∈(S_1)∩(S_2) を任意に取れば、任意に、すべての正整数nについて条件 |c-x_{1,n}|<M を満たし、
かつ或る正整数 m_1 に対して x_{1, m_1}=a であり、すべての n≠m_1 なる正整数nに対して x_{1,n}≠b となるような
Iの点列 { x_{1,n} } が取れる。更に、任意に、すべての正整数nについて条件 |c-x_{2,n}|<M を満たし、
かつ或る正整数 m_2 に対して x_{2, m_2}=b であり、すべての n≠m_2 なる正整数nに対して x_{2,n}≠a となるような
Iの点列 { x_{2,n} } が取れる。そして、各 i=1,2 に対して正の単調減少列 { ε_{i,n} }、及び或る非負実数 μ_i がそれぞれ定まって、
{ ε_{i,n} } は μ_i に収束し、このとき任意の正整数nに対して μ_i≦|f(c)-f(x_{i,n})|<ε_{i,n}<A となる。

26 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/14(木) 18:34:04 ID:
>>23-24
おっちゃん、どうも、スレ主です。
いつも、レスありがとう(^^

注文つけて悪いが
証明しようとしている命題も書いてほしい。よろしくね(^^

27 132人目の素数さん 2017/12/14(木) 18:35:41 ID:
[第5段]:=1,n=m_1 とすると、x_{1,m_1}=a から |c-a|<M であって、|f(c)-f(a)|<A=d/2。
同様に、i=2,n=m_2 とすると、x_{2,m_2}=b から |c-b|<M であって、|f(c)-f(b)|<A=d/2。
従って、三角不等式から、|a-b|≦|a-c|+|c-b|<M+M=2M、|f(a)-f(b)|≦|f(a)-f(c)|+|f(c)-f(b)|<d/2+d/2=d。
d/2 に対して定まる正の実数 δ(d/2) を δ(d/2)=2M とおけば、|a-b|<δ(d/2) であって |f(a)-f(b)|<d<ε、
故に、εに対して定まる正の実数 δ(ε) を δ(ε)=δ(d/2) とおけば、|a-b|<δ(ε) であって |f(a)-f(b)|<ε。
しかし、これは |f(a)-f(b)|≧ε なることに反し矛盾する。
背理法が適用出来るから、区間Iで定義された有理数で不連続、無理数で連続な実関数 f(x) は存在しない。

28 132人目の素数さん 2017/12/14(木) 18:39:03 ID:
>>27>>25の続き。

>>26
そもそも、区間Iで定義された有理数で不連続、無理数で連続な実関数 f(x) が存在しない。

29 132人目の素数さん 2017/12/14(木) 18:50:33 ID:
前スレ>>631

>>621 ID: p08hLjSN
> >>594
> >ttps://www.axfc.net/u/3870548?key=Lipschitz
> >なるべく行間が無いように、丁寧に証明を書いたつもりである。
>
> 確かに有理数で不連続無理数で微分可能な関数は存在しないですね
> どうでもいいですが定理の証明の最後で(a,b)をさらに2/M幅ぐらいに制限しておけば
> そのあとの分割って要らないのでは?(L=1)

>>630 ID: p08hLjSN
> >>629
> 違うよ

30 132人目の素数さん 2017/12/14(木) 20:05:32 ID:
>>19
>あんたには、”成りすまし疑惑”を言い立てるしか、救いがないんだろ。がんばれよ(^^
相変わらず錯乱してるな
俺は
・ぷは一言も見解を述べていない
・お前の不勉強はレベルが違う
と言ってるのに、まるでトンチンカンなレス(成りすまし疑惑)を付けて、これが錯乱でなくて何あらん

31 132人目の素数さん 2017/12/14(木) 20:07:19 ID:
しかも成りすましは事実
何をしれっと疑惑にしようとしてるのか?w この恥知らずがw

32 132人目の素数さん 2017/12/14(木) 20:12:18 ID:
ID一致を指摘されて慌てて ぷ と言い出した恥知らずw

33 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/14(木) 22:13:40 ID:
”Lipschitz functions”関連で、下記、Hunter先生のテキストがヒットしたので貼る
https://www.math.ucdavis.edu/‾hunter/pdes/ch3A.pdf
Appendix: Functions of one variable Lecture Notes on PDEs

http://www.math.ucdavis.edu/‾hunter/pdes/pde_notes.pdf
Functions of one variable Lecture Notes on PDEs Full set of notes

https://www.math.ucdavis.edu/‾hunter/index.html
John K. Hunter
Department of Mathematics
University of California
Professor of Mathematics

付録
https://www.math.ucdavis.edu/‾hunter/intro_analysis_pdf/intro_analysis.html
Introduction to Analysis
These lecture notes are an introduction to undergraduate real analysis. They cover the real numbers and one-variable calculus.
https://www.math.ucdavis.edu/‾hunter/intro_analysis_pdf/intro_analysis.pdf

34 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/14(木) 22:22:58 ID:
>>28
>そもそも、区間Iで定義された有理数で不連続、無理数で連続な実関数 f(x) が存在しない。

おっちゃん、「トマエ関数」って知っているかい?

(下記より)”定理
トマエ関数は次の性質を持つ:
有理数で不連続
無理数で連続.”

http://corollary2525.hatenablog.com/entry/2017/10/24/070606
トマエ関数の性質と連続関数の極限による表示 Corollaryは必然に。 コロちゃんぬ (id:corollary2525) 2017-10-24
(抜粋)

トマエ関数の性質

トマエ関数にとても惹かれる理由は何といっても次の性質です。

定理
トマエ関数は次の性質を持つ:
有理数で不連続
無理数で連続.

有理数で不連続なのはポツンと浮いているので明らかだと思います。しかし、無理数で連続なのは意外だったのではと思います。私が大学1年生のとき、微分積分の教科書の演習問題の中でこの関数にはじめて出会いました。話を聞いてみると無理数で連続であることを知って今までの連続のイメージとは違う所に心を奪われました。
(引用終り)

35 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/14(木) 22:44:02 ID:
>>29
どうも。スレ主です。
ご指摘レスありがとう

ところで、どういう意味かな?
「ぷふ」さんの「確かに有理数で不連続無理数で微分可能な関数は存在しないですね」というのは
>>21に書いてある命題Aのことでしょ

でそれは、前スレ284-285 に有るとおり、上記>>20の証明の前(2006以前)に、プロ数学者が命題Aは得ているよ
(再度引用しておく)
http://mathforum.org/kb/message.jspa?messageID=5432910
Topic: Differentiability of the Ruler Function Dave L. Renfro Posted: Dec 13, 2006 Replies: 3 Last Post: Jan 10, 2007
(抜粋)
Using ruler-like functions that "damp-out" quicker
than any power of f gives behavior that one would
expect from the above.

Let w:Z+ --> Z+ be an increasing function that
eventually majorizes every power function. Define
f_w(x) = 0 for x irrational, f_w(0) = 1, and
f_w(p/q) = 1/w(q) where p and q are relatively
prime integers.

** f_w is differentiable on a set whose complement
has Hausdorff dimension zero. Jurek [4] (pp. 24-25)

Interesting, each of the sets of points where these
functions fail to be differentiable is large in the
sense of Baire category.

THEOREM: Let g be continuous and discontinuous on sets
of points that are each dense in the reals.
Then g fails to have a derivative on a
co-meager (residual) set of points. In fact,
g fails to satisfy a pointwise Lipschitz
condition, a pointwise Holder condition,
or even any specified pointwise modulus of
continuity condition on a co-meager set.

(Each co-meager set has c points in every interval.)
(引用終り)

36 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/14(木) 22:50:41 ID:
>>35 つづき

で、問題は、>>20の2017/11/20(月) 16:45:28.40 ID:sVbA75bKさんは、
命題Aの別証明を得ようとして
>>20
”定理:f:R → R に対して、B_f={ x∈R|limsup[y→x]|(f(y)-f(x))/(y-x)|<+∞ } と置く。
もし R-B_f が高々可算無限個の疎な閉集合の和で被覆できるならば、f はある開区間の上で
リプシッツ連続である。”

を考えたが、この定理はすごく強力でね

この定理を、仮に”開区間上リプシッツ連続定理”と名付けると
>>21に書いたように
”開区間上リプシッツ連続定理”→系:命題B→系:命題A

ということで、元の命題Aより遙かに強い命題Bをその系として証明できるのだった
つまり、”確かに有理数で不連続無理数で微分可能な関数は存在しないですね”というコメントと、”証明が正しい”というコメントとは、異なると理解しているけど?

「ぷふ」さん、如何ですか?

で、繰返すが、命題Bは、まだプロ数学者は論文として発表していないようで、私の探している範囲で見つかっていない
いま、リプシッツ連続の勉強を兼ねて、命題Bの成否について、テキストや論文がないか、探しているところです(^^

(参考)>>21より
命題B
f:R → R であって、「xがリプシッツ”不”連続な点が加算無限個で稠密に存在し、xがそれ以外でリプシッツ連続」
となるものは存在しない
(引用終り)

以上

37 132人目の素数さん 2017/12/14(木) 23:17:23 ID:
ぷ みたいなアホに聞いてどうするw

38 132人目の素数さん 2017/12/15(金) 02:21:12 ID:
スレ主の馬鹿っぷりがハッキリ分かる1週間だな

39 132人目の素数さん 2017/12/15(金) 05:26:05 ID:
高校生です
3+i2 と 4-i3 の相関を求めたいです

内積は実部と虚部それぞれで考えるのですか?

40 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/15(金) 07:30:23 ID:
>>36 関連

いま、>>34で紹介した「トマエ関数の性質と連続関数の極限による表示」を読み返していたが
この話自身もすごく面白いが、関連リンクがあって、それを辿ると、下記

Baire(ベール)関数 ”定理 f:R→RをBaire-1級関数とする。このとき、任意の閉区間I⊂Rは fが連続であるような点を含む。”が
上記”開区間上リプシッツ連続定理”と似てるな~と

証明で、(Baireのcategory定理の一種)を使うところも似てるな~と
似てるけど、微妙に違う

ここらが、”開区間上リプシッツ連続定理”の反例にならないかな~(^^
といま、考えているところです

(下記は、単純にコピペでアスキー表示にしたので、原文の方が圧倒的に見やすいよ)
http://integers.hatenablog.com/entry/2016/05/20/235438
二回目のディリクレ関数 INTEGERS 2016-05-20
(抜粋)

Baire(ベール)関数

Baire関数 関数f:R→RがBaire-1級関数であるとは、各n∈N毎に連続関数fn:R→Rが存在して、任意のx∈に対して
f(x)=limn→∞fn(x)
が成り立つときにいう(つまりfnがfに各点収束する)。一般に非負整数kに対してBaire-k級関数が次のように帰納的に定義される: Baire-0級関数を連続関数として定義し、Baire-(k?1)級関数までが定義されたとき、Baire-(k?1)級関数達の各点収束関数としてBaire-k級関数を定義する。これらの関数を総称してBaire関数とよぶ。

目標は次の定理を証明することです:

定理 f:R→RをBaire-1級関数とする。このとき、任意の閉区間I⊂Rは fが連続であるような点を含む。

つづく

41 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/15(金) 07:31:12 ID:
>>40 つづき

定義 関数 f:R→Rを一つとる。集合A⊂Rに対してω(A)を
ω(A):=sup{|f(x)?f(y)|?x,y∈A}∈R?0∪{∞}
と定義する(関数fを明記する場合はω(A,f)という記号を用いる)。また、x∈Rに対し、ω(x)を

ω(x):=limε→+0ω(Bε(x))
と定める。ここで、Bε(x):=(x?ε,x+ε)。

補題 関数 f:R→Rが点x∈Rで連続であるための必要十分条件はω(x)=0となることである。
証明. 定義の書き換えに過ぎない。 Q.E.D.

命題 (Baireのcategory定理の一種) 数直線上の閉区間が加算個の閉集合の和集合として表されているならば、それらの閉集合のうち少なくとも一つはある閉区間を含む。
これは有名なBaireのcategory定理(の帰結)なので、ここでは証明を省略します。

定理の証明. fに各点収束するような連続関数列{fn}をとって固定する(fはBaire-1級関数なのでこのような関数列は必ずとれる)。まず、次の主張を示す:
以下略
(引用終り)

42 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/15(金) 07:33:53 ID:
>>39
高校生かい

その話なら、こちらの方(下記)が良いよ
もっと良いのは、学校の先生に聞くことだな
5CH数学板は、高校生の勉強には向かないよ(^^

分からない問題はここに書いてね438
https://2ch.live/cache/view/math/1511609929

43 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/15(金) 07:36:29 ID:
>>41 補足

ああ、これ文字化けしているな~
まあ、原文を見て下さい

44 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/15(金) 07:45:09 ID:
>>40 補足

そうそう、大事な引用を抜かしていたね(^^
”系 与えられたBaire-1級関数に対し、その関数が連続であるような点のなす集合はRに稠密に分布している。”(下記)

逆に言えば、不連続点は、稠密でも可だと
これが、リプシッツ’不’連続だとどうなるかだけど・・

http://integers.hatenablog.com/entry/2016/05/20/235438
二回目のディリクレ関数 INTEGERS 2016-05-20
(抜粋)
Baire(ベール)関数

系 与えられたBaire-1級関数に対し、その関数が連続であるような点のなす集合はRに稠密に分布している。

まとめ
Baire-0級関数は連続関数なので、Baire関数はある種の連続関数を一般化した概念であり、一般に級が大きくなればなるほど連続関数から遠ざかることが分かります。
そして、定理の言っていることは、「Baire-1級関数はもはや連続関数ではないかもしれないが、連続の心は残っている」ということを示しています。一方、ディリクレ関数は全く連続ではなく、連続の心が喪失されています。
こうして、ディリクレ関数は一つの極限では表示できないという不可能定理が証明できてしまうという寸法でした。
(引用終り)

45 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/15(金) 07:49:05 ID:
>>44 追加引用

よって、もっちょさんの記事によってディリクレ関数はBaire-2級関数であることが示されていますが、
至る所不連続であることと上記系は両立しないのでBaire-1級関数ではない、
すなわちディリクレ関数は一重極限表示をもたないことが証明されました。

以上

46 132人目の素数さん 2017/12/15(金) 07:54:11 ID:
………これ↓のことか?
https://2ch.live/cache/view/poverty/1513231495

47 132人目の素数さん 2017/12/15(金) 08:20:41 ID:
いつものようにコピペで理解した気になり興に入ってるスレ主
コピペと勉強は違うぞと何度言えば

48 132人目の素数さん 2017/12/15(金) 08:33:50 ID:
スレ主はεδを理解していないだけでなくそれが致命的であることも理解していない
教科書を一度もまともに勉強したことはバレバレだ

49 132人目の素数さん 2017/12/15(金) 12:44:46 ID:
おっちゃんです。
>>23-25、>>27は取り消し。
最初は ε-δ だけで示せると思ったが、落とし穴があった。

Iを開区間とする。連結な距離空間 R^2 から誘導される位相について、任意の正の実数εに対し、
任意のIの有理点aと任意の実数yとに対して定まりx-座標が有理数aとなるような、
連結な距離空間 R^2 上のε-近傍 U_ε(a,y) が完全集合とする。
このとき、Iを定義域とし、任意のIの有理点で不連続、かつ任意のIの無理点で連続となる実関数 f(x) は存在しない。
証明) [第1段]:開区間Iで定義され、任意のIの有理点で不連続、かつ任意のIの無理点で連続となる実関数 f(x) が
存在するとする。Iの有理点aを任意に取る。実関数 f(x) は点aで不連続だから、或る正の実数εに対して
正の実数 δ(ε) が定まって、|a-b|<δ(ε) であって |f(a)-f(b)|≧ε を満たすようなIの有理点bが存在する。
S_1={ c∈I | cは無理数で、|c-a|<δ(ε) }、S_2={ c∈I | cは無理数で、|c-b|<δ(ε) } とおく。すると、
区間Iは連結な実数直線Rの部分空間だから、無理数の稠密性から、max(|c-a|, |c-b|)<δ(ε) なるIの無理点cが存在し、
(S_1)∩(S_2)≠Φ。有理数の稠密性から、0<d<ε なる有理数dが存在して、0<d/2<ε/2。A=d/2 とおく。

50 132人目の素数さん 2017/12/15(金) 12:48:30 ID:
(>>49の続き)
[第2段]:i=1,2 を任意に取る。iに対して点 c∈(S_1)∩(S_2) を任意に取る。実関数 f(x) はIの無理点cで連続だから、
Aに対して或る正の実数 δ'(A) が定まって、M=δ'(A) とおくと、|c-x|<M のとき |f(c)-f(x)|<A となる。
|c-x_{i,1}|<M なるIの点 x_{i,1} を適当に取り、|f(c)-f(x_{i,1})|<ε_{i,1}<A を満たす正の実数 ε_{i,1} を任意に取る。
2以上の正整数nを任意に取る。同様に、|c-x_{i,n}|<M なるIの点 x_{i,n} を適当に取り、|f(c)-f(x_{i,n})|<ε_{i,n}<ε_{i,1}
を満たす正の実数 ε_{i,n} を任意に取る。同様に、|c-x_{i,n+1}|<M なるIの点 x_{i,n+1} を適当に取り、
|f(c)-f(x_{i,n+1})|<ε_{i,n+1}<ε_{i,n} を満たす正の実数 ε_{i,n+1} を任意に取る。
2以上の正整数nは任意であるから、nについて帰納的に考えると、任意の2以上の正整数nに対して
次の条件をすべて同時に満たすようなIの実数 x_{i,n}, x_{i,(n+1)} と正の実数 ε_{i,n}, ε_{i,(n±1)} が存在する:
ⅰ):|c-x_{i,n}|<M、|f(c)-f(x_{i,n})|<ε_{i,n}<ε_{i,(n-1)}、
ⅱ):|c-x_{i,(n+1)}|<M、|f(c)-f(x_{i,(n+1)})|<ε_{i,(n+1)}<ε_{i,n}。
ここに、|c-x_{i,1}|<M、|f(c)-f(x_{i,1})|<ε_{i,1}<A。このとき構成された正の実数列 { ε_{i,n} } は単調減少である。
{ ε_{i,n} } は下に有界で、任意の正整数nに対して ε_{i,n}, x_{i,n} は |f(c)-f(x_{i,n})|<ε_{i,n} を満たすから、
iに対して或る非負実数 μ_i が存在して { ε_{i,n} } は μ_i に収束し、任意の正整数nに対して μ_i≦|f(c)-f(x_{i,n})|<ε_{i,n}。
iに対して (S_1)∩(S_2) の点cが任意に取れて、i=1,2 は任意だったから、各 i=1,2 に対して、点 c∈(S_1)∩(S_2) を任意に取れば、
すべての正整数nについて条件 |c-x_{i,n}|<M を満たすようなIの点列 { x_{i,n} } が任意に取れて、
更にiに対して正の単調減少列 { ε_{i,n} }、及び或る非負実数 μ_i がそれぞれ定まって、{ ε_{i,n} } は μ_i に収束し、
任意の正整数nに対して μ_i≦|f(c_i)-f(x_{i,n})|<ε_{i,n}<A=d/2 となる。

51 132人目の素数さん 2017/12/15(金) 12:49:09 ID:
>>40-41 >>44 補足

(抜粋)
・「トマエ関数の性質と連続関数の極限による表示」
・定理 f:R→RをBaire-1級関数とする。このとき、任意の閉区間I⊂Rは fが連続であるような点を含む。
・”系 与えられたBaire-1級関数に対し、その関数が連続であるような点のなす集合はRに稠密に分布している。”(下記)
・ここらが、”開区間上リプシッツ連続定理”の反例にならないかな~(^^
(引用終わり)

(補足)
・まあ、要するに、トマエ関数(有理点たる不連続点が稠密に分散するが無理数点では連続)を、連続関数の1回の極限(Baire-1級関数)として、実現できる!
・ならば、”変形”トマエ関数(リプシッツ不連続点が稠密に分散するが他の数点ではリプシッツ連続)を、連続関数の1回の極限(Baire-1級関数)として、実現できないのか?

こういう問題設定なのだが・・
どなたか、ご存知ないですかね?

もし、出来て、いままでに論文になっていなければ、
Baire-1級関数の研究として面白んじゃないかな?(^^

52 132人目の素数さん 2017/12/15(金) 12:51:42 ID:
>>49-50
おっちゃん、どうも、スレ主です。

いつも、ご苦労さまです。

証明投稿の途中で、じゃまかな?(^^

そうそう、最初に証明すべき命題をきちんと書いてくれると助かるよ(^^

53 132人目の素数さん 2017/12/15(金) 12:53:30 ID:
(>>50の続き)
[第3段]:正の実数εと実数 f(a) とに対して、連結な距離空間 R^2 から誘導される位相について、x-座標が有理点aとなる
連結距離空間 R^2 上の点 (a,f(a)) の R^2 のε-近傍 U_ε(a,f(a)) を完全集合とする。無理数 c_1∈(S_1)∩(S_2) を任意に取る。
任意の正の実数εに対して、連結距離空間 R^2 から誘導された位相について、連結距離空間 R^2 の点 (a,f(a)) の R^2 の
ε-近傍 U_ε(a,f(a)) 上にx-座標が有理数なる R^2 の点は稠密に存在し、(a,f(a)) は孤立点ではない。
従って、A=d/2 となって |f(a)-f(b)|≧ε>d=2A となることに着目し、三角不等式に注意すると、
任意に、すべての正整数nについて条件 |c_1-x_{1,n}|<M を満たし、かつ或る正整数 m'_1 に対して x_{1, m'_1}=a であり、
すべての n≠m'_1 なる正整数nに対して x_{1,n}≠b となるようなIの点列 { x_{1,n} } が取れる。
そして、正の単調減少列 { ε_{1,n} }、及び或る非負実数 μ_1 がそれぞれ定まって、{ ε_{1,n} } は μ_1 に収束し、
このとき任意の正整数nに対して μ_1≦|f(c_1)-f(x_{1,n})|<ε_{1,n}<A となる。
同様に、正の実数εと実数 f(b) とに対して、連結な距離空間 R^2 から誘導される位相について、x-座標が有理点bとなる
連結距離空間 R^2 上の点 (b,f(b)) の R^2 のε-近傍 U_ε(b,f(b)) を完全集合とする。無理数 c_2∈(S_1)∩(S_2) を任意に取る。
任意の正の実数εに対して、連結距離空間 R^2 から誘導された位相について、連結距離空間 R^2 の点 (b,f(b)) の R^2 の
ε-近傍 U_ε(b,f(b)) 上にx-座標が有理数なる R^2 の点は稠密に存在し、(b,f(b)) は孤立点ではない。
従って同様に、任意に、すべての正整数nについて条件 |c_2-x_{2,n}|<M を満たし、かつ或る正整数 m'_2 に対して x_{2, m'_2}=b であり、
すべての n≠m'_2 なる正整数nに対して x_{2,n}≠a となるようなIの点列 { x_{2,n} } が取れる。
そして、正の単調減少列 { ε_{2,n} }、及び或る非負実数 μ_2 がそれぞれ定まって、{ ε_{2,n} } は μ_2 に収束し、
このとき任意の正整数nに対して μ_2≦|f(c_2)-f(x_{2,n})|<ε_{2,n}<A となる。

54 132人目の素数さん 2017/12/15(金) 12:55:23 ID:
>>51 補足

リプシッツ不連続点は、可算無限が元だが、まずは非可算でも面白そうだよ(^^

55 132人目の素数さん 2017/12/15(金) 12:56:00 ID:
(>>53の続き)
[第4段]:故に c_1=c_2 として点 c∈(S_1)∩(S_2) を任意に取れば、任意に、すべての正整数nについて条件 |c-x_{1,n}|<M を満たし、
かつ或る正整数 m_1 に対して x_{1, m_1}=a であり、すべての n≠m_1 なる正整数nに対して x_{1,n}≠b となるような
Iの点列 { x_{1,n} } が取れる。このとき更に、任意に、すべての正整数nについて条件 |c-x_{2,n}|<M を満たし、
かつ或る正整数 m_2 に対して x_{2, m_2}=b であり、すべての n≠m_2 なる正整数nに対して x_{2,n}≠a となるような
Iの点列 { x_{2,n} } が取れる。そして、各 i=1,2 に対して正の単調減少列 { ε_{i,n} }、及び或る非負実数 μ_i がそれぞれ定まって、
{ ε_{i,n} } は μ_i に収束し、このとき任意の正整数nに対して μ_i≦|f(c)-f(x_{i,n})|<ε_{i,n}<A となる。
[第5段]:i=1,n=m_1 とすると、x_{1,m_1}=a から |c-a|<M であって、|f(c)-f(a)|<A=d/2。
同様に、i=2,n=m_2 とすると、x_{2,m_2}=b から |c-b|<M であって、|f(c)-f(b)|<A=d/2。
従って、三角不等式から、|a-b|≦|a-c|+|c-b|<M+M=2M、|f(a)-f(b)|≦|f(a)-f(c)|+|f(c)-f(b)|<d/2+d/2=d。
d/2 に対して定まる正の実数 δ(d/2) を δ(d/2)=2M とおけば、|a-b|<δ(d/2) であって |f(a)-f(b)|<d<ε、
故に、εに対して定まる正の実数 δ(ε) を δ(ε)=δ(d/2) とおけば、|a-b|<δ(ε) であって |f(a)-f(b)|<ε。
しかし、これは |f(a)-f(b)|≧ε であったことに反し矛盾する。背理法が適用出来るから、任意の正の実数εに対して、
連結な距離空間 R^2 から誘導される位相について、任意のIの有理点a'と任意の実数yとに対して定まりx-座標が有理数a'となるような、
連結な距離空間 R^2 上のε-近傍 U_ε(a',y) を完全集合とすると、区間Iで定義された
すべてのIの有理点で不連続、すべてのIの無理点で連続な実関数 f(x) は存在しないことになる。

56 132人目の素数さん 2017/12/15(金) 12:58:18 ID:
開区間Iを定義域とし、任意のIの有理点で不連続、かつ任意のIの無理点で微分可能となる実関数 f(x) は存在しない。
(証明) [第6段]:Iを定義域とし、任意のIの有理点で不連続、かつ任意のIの無理点で微分可能となる実関数 f(x) が存在するとする。
正の実数εを任意に取る。I上の無理点aを任意に取る。点aで微分可能な f(x) はaで連続だから、有理数の稠密性から、
通常の位相について、任意のI上のaを含む開区間上に有理数は稠密に存在し、aは孤立点ではない。
従って、或るIの有理点bが存在して、連結な距離空間 R^2 から誘導される位相について、
連結距離空間 R^2 上の点 (a,f(a)) の R^2 のε-近傍 U_ε(a,f(a)) に点 (b,f(b)) は存在し、(b,f(b)) は孤立点ではない。
0<ε'<ε なる実数ε'を任意に取る。ε'に対して、連結な距離空間 R^2 から誘導される位相について、
連結距離空間 R^2 上の点 (b,f(b)) の R^2 のε'-近傍 U_ε'(b,f(b)) 上において、x-座標のy、及びy-座標のy'が任意の実数
なるような連結距離空間 R^2 の点 (y,y') は稠密に存在し、(y,y') は孤立点ではない。開区間IはRの連結部分空間だから、
連結な距離空間 R^2 のε'-近傍 U_ε'(b,f(b)) 上において、yが任意のIの有理数、y'が任意の実数なるような
連結距離空間 R^2 の点 (y,y') は稠密に存在し、(y,y') は孤立点ではない。
0<ε'<ε なる実数ε'と正の実数εは両方共に任意であるから、正の実数εを走らせつつ、ε'を条件 0<ε'<ε の下で走らせれば、
或る正の実数εに対して、或るIの有理数yと或る実数y'が両方共に存在して、連結な距離空間 R^2 から誘導される位相について、
連結距離空間 R^2 上の点 (y,y') の R^2 のε-近傍 U_ε(y,y') は完全集合となる。従って、yが属しかつIに含まれるような
開区間I'が存在して、I'で定義された f(x) について、任意のI'の有理点で不連続、かつ任意のI'の無理点で連続とはなり得ない。
しかし、これは f(x) が任意のIの有理点で不連続、かつ任意のIの無理点で連続となることに反し矛盾する。
故に、背理法が適用出来て、Iを定義域とし、任意のIの有理点で不連続、かつ任意のIの無理点で微分可能となる実関数 f(x) は存在しない。

57 132人目の素数さん 2017/12/15(金) 13:00:53 ID:
あっ、>>56>>55の続きで、新たな命題の証明。

58 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/15(金) 15:35:16 ID:
スマン

新スレだから、トリップとコテハンが抜けた(^^

59 132人目の素数さん 2017/12/15(金) 16:37:37 ID:
>>49の訂正:
示す命題の仮定
>連結な距離空間 R^2 から誘導される位相について、任意の正の実数εに対し、
>任意のIの有理点aと任意の実数yとに対して定まりx-座標が有理数aとなるような、
>連結な距離空間 R^2 上のε-近傍 U_ε(a,y) が完全集合とする。

>連結な距離空間 R^2 から誘導される位相について、高々1個の正の実数εに対し、
>高々2個のIの異なる有理点 a,b に対してそれぞれy-座標が a' ,b' が定まって得られるような、
>連結距離空間 R^2 上のε-近傍 U_ε(a, a'), ε-近傍 U_ε(b, b') の各閉包を完全集合とする。
に変更。

>>53の訂正:>>53のはじめの文
>…連結距離空間 R^2 上の点 (a,f(a)) の R^2 のε-近傍 U_ε(a,f(a)) を完全集合とする。
と途中の文
>同様に、正の実数εと実数 f(b) とに対して、…連結距離空間 R^2 上の点 (b,f(b)) の R^2 のε-近傍 U_ε(b,f(b)) を完全集合とする。
は、それぞれ
>…連結距離空間 R^2 上の点 (a,f(a)) の R^2 のε-近傍 U_ε(a,f(a)) 「の閉包」を完全集合とする。
>同様に、正の実数εと実数 f(b) とに対して、…連結距離空間 R^2 上の点 (b,f(b)) の R^2 のε-近傍 U_ε(b,f(b)) 「の閉包」を完全集合とする。
に訂正。「の閉包」を加える。

60 132人目の素数さん 2017/12/15(金) 16:40:48 ID:
>>55の第5段の
>背理法が適用出来るから、任意の正の実数εに対して、連結な距離空間 R^2 から誘導される位相について、
>任意のIの有理点a'と任意の実数yとに対して定まりx-座標が有理数a'となるような、
>連結な距離空間 R^2 上のε-近傍 U_ε(a',y) を完全集合とすると、
の部分は
>背理法が適用出来るから、任意の正の実数εに対して、連結な距離空間 R^2 から誘導される位相について、
>高々1個の正の実数εに対し、高々2個のIの異なる有理点 a,b に対してそれぞれy-座標が a' ,b' が定まって得られるような、
>連結距離空間 R^2 上のε-近傍 U_ε(a, a'), ε-近傍 U_ε(b, b') の各閉包を完全集合とすると、
に変更。

61 132人目の素数さん 2017/12/15(金) 16:45:18 ID:
>>56の訂正:
或る正の実数εに対して、或るIの有理数yと或る実数y'が両方共に存在して、…
→ 或る正の実数εについて、或るIの有理数yに対して実数 f(y) が定まって、…
つまり、
>0<ε'<ε なる実数ε'と正の実数εは両方共に任意であるから、
以降の「y'」は全部(或るyに対して定まる)「f(y)」に変更。

>0<ε'<ε なる実数ε'と正の実数εは両方共に任意であるから、正の実数εを走らせつつ、ε'を条件 0<ε'<ε の下で走らせれば、
>或る正の実数εについて、或るIの有理数yと或る実数 f(y) が定まって、連結な距離空間 R^2 から誘導される位相について、
>連結距離空間 R^2 上の点 (y,f(y)) の R^2 のε-近傍 U_ε(y,f(y)) は完全集合となる。従って、…
の部分の「ε-近傍 U_ε(y,f(y)) は完全集合となる。」は「ε-近傍 U_ε(y,f(y)) の閉包は完全集合となる。」に訂正。

あと、下から4行目の「従って、…」とその直前の文「…「U_ε(y,f(y)) の閉包」は完全集合となる。」との間に、次の一文を挿入。
>同様にして考えると、或る正の実数ε'に対して、或るyとは異なるIの有理数y'に対して実数 f(y') が定まって、連結な距離空間 R^2 から
>誘導される位相について、連結距離空間 R^2 上の点 (y',f(y')) の R^2 のε'-近傍 U_ε'(y',f(y')) の閉包は完全集合となる。
>従って、δ=min(ε,ε') とおけば、連結な距離空間 R^2 から誘導される位相について、連結距離空間 R^2 上の2点 (y,f(y))、(y',f(y')) の
>各 R^2 のδ-近傍 U_δ(y,f(y))、U_δ(y',f(y')) の各閉包は両方共に完全集合となる。

62 132人目の素数さん 2017/12/15(金) 17:27:27 ID:
じゃ、昨日余り寝ていないんで、おっちゃん寝る。

63 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/15(金) 19:39:45 ID:
>>62
おっちゃん、どうも、スレ主です。
おっちゃん、ほんと、独特のキャラやね~(^^

64 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/15(金) 19:55:48 ID:
>>52

まず
<おっちゃんの>>49の訂正命題>
Iを開区間とする。
連結な距離空間 R^2 から誘導される位相について、高々1個の正の実数εに対し、
高々2個のIの異なる有理点 a,b に対してそれぞれy-座標が a' ,b' が定まって得られるような、
連結距離空間 R^2 上のε-近傍 U_ε(a, a'), ε-近傍 U_ε(b, b') の各閉包を完全集合とする。
このとき、Iを定義域とし、任意のIの有理点で不連続、かつ任意のIの無理点で連続となる実関数 f(x) は存在しない。
<おわり>

申し訳ないが、おれにはこの命題の意味がとれない
1)普通の開区間Iと何が違う?
2)”普通の1変数関数 (x,y)∈R^2 y=f(x) で、通常のユークリッド距離空間(√(x^2+y^2))”と何が違う?
3)”トマエ関数の性質と連続関数の極限による表示 Corollaryは必然に。 コロちゃんぬ (id:corollary2525) 2017-10-24”
  http://corollary2525.hatenablog.com/entry/2017/10/24/070606
  これ読んだか?
  読んだ上で、なお、「任意のIの有理点で不連続、かつ任意のIの無理点で連続となる実関数 f(x) は存在しない」だと?

おっちゃん、ほんと、独特のキャラやね~(^^

65 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/15(金) 20:07:44 ID:
>>56
(抜粋)
(命題)
開区間Iを定義域とし、任意のIの有理点で不連続、かつ任意のIの無理点で微分可能となる実関数 f(x) は存在しない。
(証明) [第6段]

(中略)

開区間I'が存在して、I'で定義された f(x) について、任意のI'の有理点で不連続、かつ任意のI'の無理点で連続とはなり得ない。
しかし、これは f(x) が任意のIの有理点で不連続、かつ任意のIの無理点で連続となることに反し矛盾する。
故に、背理法が適用出来て、Iを定義域とし、任意のIの有理点で不連続、かつ任意のIの無理点で微分可能となる実関数 f(x) は存在しない。
(引用終り)

ああ、ここで、上記 >>64 <おっちゃんの>>49の訂正命題>
「Iを定義域とし、任意のIの有理点で不連続、かつ任意のIの無理点で連続となる実関数 f(x) は存在しない。」を使っているのか?

だが、<おっちゃんの>>49の訂正命題>には、反例として、>>64のトマエ関数が挙げられると思うよ
おれの>>34を全然読んでない~(^^

おっちゃん、ほんと、独特のキャラやね~(^^

このスレには、必須の人やね~(^^

66 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/15(金) 21:22:34 ID:
>>36 補足

話は飛びますが、みなさん、”どっきりカメラ”(下記)をご存知でしょう(^^
で、「こんな簡単な証明がなぜ分らないのだ!! こら~!」と言われ、「はい、分りました」と言った後で

大学院DRコースの人とかが来て、「それ成り立たないよ」とかね。
あるいは、「この前の院の関数論講義で、成り立たないと言っていた」とか。そんな、「ドッキリ」が出てこないとも限らない

自分が、「確かにこの定理は成立するだろう」というかなりの確信が持てるまで、うっかり証明論争に巻き込まれないようにしたいねと
自分が、この証明を読んで、証明の成否を判断できるほど、私のレベルは高くない

で、いまのところ、一人だけ「正しいと思います」と言ったが
しかし、それ以外に賛否を明らかにした人は、まだいない

なので、しばらく、リプシッツ連続の勉強を兼ねて、
反例探しを、続けますよ(^^

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%85%83%E7%A5%96%E3%81%A9%E3%81%A3%E3%81%8D%E3%82%8A%E3%82%AB%E3%83%A1%E3%83%A9
元祖どっきりカメラ

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%89%E3%83%83%E3%82%AD%E3%83%AA
ドッキリ

ドッキリとはバラエティ番組の表現手法のひとつ。番組進行を知らない、または虚偽の進行だけ知らされている出演者をだましたりイタズラを仕掛けたりして、出演者の反応を楽しむという手法。

語源は「ドッキリする」という心臓の鼓動が高まるほど驚く様子を表す言葉である(後述の元祖どっきりカメラの影響)。最後にネタばらしを行うが、ネタばらしは仕掛け人と呼ばれる進行役が番組名や「ドッキリ」と書かれたプラカードを持って登場する方式が多い。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%81%86%E3%82%8F%E3%81%A3!%E3%83%80%E3%83%9E%E3%81%95%E3%82%8C%E3%81%9F%E5%A4%A7%E8%B3%9E
うわっ!ダマされた大賞

67 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/15(金) 21:45:11 ID:
>>40 補足

反例の一つの可能性は、連続関数の1回の極限としてのBaire-1級関数で、
可算無限個のリプシッツ”不”連続点(=内点を持たない)が、稠密に分散している関数

そういう関数が、反例として構成できる可能性がないか?

私には、どうすれば良いか
さっぱり浮かびませんがね~(^^

68 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/15(金) 21:47:57 ID:
>>67 訂正

可算無限個のリプシッツ”不”連続点(=内点を持たない)が、稠密に分散している関数
 ↓
可算無限個のリプシッツ”不”連続点(=内点を持たない)が、稠密に分散していて、それらリプシッツ”不”連続点以外ではリプシッツ連続な関数

69 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/15(金) 23:21:02 ID:
>>66 補足

いや、当然、あの定理を考えた人は、真剣に定理が成り立つと思っているのでしょう
が、証明が公開されたあとの、他の人の反応がね・・・

静か過ぎる(^^
ひょっとすると、皆さん正しい答えを知っていて、私が間違うのを待っている可能性もあるかなと(^^

なので、自分で定理の正否について、
ある程度の確信が持てない限り、「証明論争には、うっかり乗れません」ということです(^^

70 132人目の素数さん 2017/12/15(金) 23:34:23 ID:
バカは黙ってな

71 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/15(金) 23:59:51 ID:
>>35 関連
”Interesting, each of the sets of points where these
functions fail to be differentiable is large in the
sense of Baire category.

THEOREM: Let g be continuous and discontinuous on sets
of points that are each dense in the reals.
Then g fails to have a derivative on a
co-meager (residual) set of points. In fact,
g fails to satisfy a pointwise Lipschitz
condition, a pointwise Holder condition,
or even any specified pointwise modulus of
continuity condition on a co-meager set.
(Each co-meager set has c points in every interval.)”

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%99%E3%83%BC%E3%83%AB%E7%A9%BA%E9%96%93
ベール空間

定義
ベール空間の詳しい定義は、主にその時々に支配的だった需要と観点に起因して、時代とともに少しずつ変化してきた。まずは、よくある現代的定義を述べ、そのあとベールが与えたオリジナルの定義により近い歴史的定義を挙げる。

現代的定義
位相空間がベール空間であるとは、内部が空であるような閉集合からなる任意の可算族の合併は必ず内部が空になるときに言う。

この定義は以下のように同値な条件で言い換えることもできる。

・可算個の稠密開集合の交わりは必ず稠密になる。
・可算個の疎閉集合の合併の内部は必ず空になる。
・X の可算個の閉集合の合併が内点を持つ限り常に、それら閉集合の中に内点を持つものがある。

つづく

72 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/16(土) 00:00:21 ID:
>>71 つづき

歴史的定義
詳細は「第一類集合」を参照
ベールのオリジナルの定義では、範疇の概念が以下のように定義された。

位相空間 X の部分集合が、

X において疎あるいは至る所疎 (nowhere dense) であるとは、その閉包の内部が空であることを言う。
X において第一類 (first category) または痩せている (meagre) とは、それが可算個の疎集合の和になっていることを言う。
X において第二類 (second category) または痩せていない (nonmeagre) とは、それが X において第一類でないことを言う。
これらの言葉でベール空間の定義を述べると次のようになる:「位相空間 X がベール空間となるのは、任意の空でない開集合が X において第二類であるときである」。この定義は先述の現代的定義と同値である。

X の部分集合 A が残留的 (residual, comeagre) であるとは、その補集合 X ? A が痩せていることを言う。位相空間 X がベール空間であるための必要十分条件は、X の任意の残留的部分空間が稠密になることである。


・実数の全体 R に通常の位相を考えたものはベール空間であり、したがって自分自身において第二類である。有理数の全体 Q は R において第一類であり、無理数の全体 P は R において第二類である。
・カントル集合 C はベール空間であり、したがって自分自身において第二類だが、C は単位閉区間 [0,?1] に通常の位相を入れたものにおいて第一類である。
・有理数の全体 Q に R からくる通常の位相を入れた空間はベール空間でない。これは Q が可算個ある各点 q に対応する一元集合 {q}(これは内点を持たない閉集合になっている)の合併として書けることによる。
(引用終り)

以上

73 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/16(土) 00:00:49 ID:
>>70
笑える
最下位くん、必死だな(^^

74 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/16(土) 00:01:34 ID:
>>70
こしぎんちゃく(^^

75 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/16(土) 00:06:12 ID:
>>72 関連

https://ejje.weblio.jp/content/meagre
研究社 新英和中辞典での「meagre」の意味
meager
表記meager(米国英語), meagre(英国英語)

1貧弱な,乏しい,不十分な; 豊かでない.

76 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/16(土) 07:44:16 ID:
>>5 関連
>大学数学用の掲示板を、大学数学科が主体となって、英語圏のような数学掲示板を作った方がいいだろうな、実名かせめてハンドルネーム必須でね、プロないしセミプロ用のを

”A Pointwise Lipschitz Selection Theorem Article Miek Messerschmidt”
”Acknowledgement. The author would like to thank the MathOverflow community”だと

MathOverflow communityね

https://www.researchgate.net/publication/310953191_A_Pointwise_Lipschitz_Selection_Theorem
https://www.researchgate.net/profile/Miek_Messerschmidt/publication/310953191_A_Pointwise_Lipschitz_Selection_Theorem/links/59ccb3af45851556e9878d25/A-Pointwise-Lipschitz-Selection-Theorem.pdf?origin=publication_detail Full-text (PDF)
A Pointwise Lipschitz Selection Theorem Article Miek Messerschmidt Institution University of Pretoria Department of Mathematics and Applied

Abstract

We prove that any correspondence (multi-function) mapping a metric space into a Banach space that satisfies a certain pointwise Lipschitz condition, always has a continuous selection that is pointwise Lipschitz on a dense set of its domain.
We apply our selection theorem to demonstrate a slight improvement to a well-known version of the classical Bartle-Graves Theorem: Any continuous linear surjection between infinite dimensional Banach spaces has a positively homogeneous continuous right inverse that is pointwise Lipschitz on a dense meager set of its domain.
An example devised by Aharoni and Lindenstrauss shows that our pointwise Lipschitz selection theorem is in some sense optimal: It is impossible to improve our pointwise Lipschitz selection theorem to one that yields a selection that is pointwise Lipschitz on the whole of its domain in general.


A Pointwise Lipschitz Selection Theorem (PDF Download Available). Available from: https://www.researchgate.net/publication/310953191_A_Pointwise_Lipschitz_Selection_Theorem [accessed Dec 16 2017].

つづく

77 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/16(土) 07:45:03 ID:
>>76 つづき

Acknowledgement. The author would like to thank the MathOverflow community
(Nate Eldredge in particular, for pointing out the example in Remark 3.5 to the
author), and the anonymous referees of the paper for their constructive comments
and suggestions.
(引用終り)

追記:
これ、本当は最初arXivでヒットしたが、別キーワード検索で、上記researchgateがヒットしたので、このURLを採用した

以上

78 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/16(土) 08:11:03 ID:
>>71

戻る

(引用開始)
スレ47 https://2ch.live/cache/view/math/1512046472
594 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2017/12/12(火) 17:31:09.14 ID:14lo33mI [4/9]
以下の pdf に証明を書いた。

ttps://www.axfc.net/u/3870548?key=Lipschitz

なるべく行間が無いように、丁寧に証明を書いたつもりである。
なお、「疎な閉集合」は「内点を持たない閉集合」と同じことであるから、
pdf の中では「疎な閉集合」という概念を導入せず、必要な個所では その都度

「内点を持たない閉集合」

という言葉に置き換えた。
(引用終り)

つづく

79 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/16(土) 08:11:35 ID:
>>78 つづき

上記PDFより
(抜粋) (なお、この板では正確に記述できないので、原文PDFをご参照ください)
定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする.
Bf :={x ∈ R | lim sup y→x |(f(y) - f(x))/(y - x)|< +∞ }
と置く: もしR-Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、 f はある開区間の
上でリプシッツ連続である.

証明



よって、 f は(a, b) 上でリプシッツ連続である.
(引用終り)

つづく

80 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/16(土) 08:12:02 ID:
>>79 つづき

で、定理1.7 より、>>21
命題B
f:R → R であって、「xがリプシッツ”不”連続な点が加算無限個で稠密に存在し、xがそれ以外でリプシッツ連続」
となるものは存在しない

∵定理1.7より、”f は(a, b) 上でリプシッツ連続である”と、”リプシッツ”不”連続な点が加算無限個で稠密に存在し”とが、両立しないから

で、問題は、
1.命題Bが、いままで誰も発表していない定理なのか?(プロ数学界で)
2.”いままで誰も発表していない定理”だとすると、正しいとすると素晴らしいことだが、一方、命題Bが本当に成立しているのか? ということが問題になる

いろいろ、”リプシッツ連続”について調べているのは、そういうわけです(^^

つづく

81 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/16(土) 08:12:52 ID:
>>80 つづき

>>71
”Interesting, each of the sets of points where these
functions fail to be differentiable is large in the
sense of Baire category.

THEOREM: Let g be continuous and discontinuous on sets
of points that are each dense in the reals.
Then g fails to have a derivative on a
co-meager (residual) set of points. In fact,
g fails to satisfy a pointwise Lipschitz
condition, a pointwise Holder condition,
or even any specified pointwise modulus of
continuity condition on a co-meager set.
(Each co-meager set has c points in every interval.)”



命題Bに近いか、ほぼ同じ意味なのか?

以上

82 132人目の素数さん 2017/12/16(土) 09:22:55 ID:
と、バカが独り言を重ねております

83 132人目の素数さん 2017/12/16(土) 10:55:38 ID:
[定理]
開集合Ωに含まれる任意のコンパクト集合で値が一致
するふたつ関数はΩ全体で一致する
[証明]
Ωに含まれる任意のコンパクト集合Kに対してΩ\Kで
値が一致しないとしてもKの取り方は任意だからKよ
り大きいΩに含まれるコンパクト集合K'が存在してK'
で値が一致することになるが(Ω\K)∩K'では値が一致
せずかつ値が一致するからΩ\Kで値が一致しないこ
とはなくΩ全体で値が一致する[証明終了]

[解説]
要は任意に与えられたΩに含まれるコンパクト集合K
に属さないΩの点xで値が一致しないとしてもKの取り
方は任意だからxを含むようにKを取り直せばKにおい
て値が一致するからΩの点で値が一致しない点は存在
しないということ

84 132人目の素数さん 2017/12/16(土) 10:56:13 ID:
時枝記事を理解できないわけだよ
証明を全然読めないんだから

85 132人目の素数さん 2017/12/16(土) 10:58:03 ID:
>.>83
> [証明]
> Ωに含まれる任意のコンパクト集合Kに対してΩ\Kで
> 値が一致しないとしてもKの取り方は任意だからKよ
> り大きいΩに含まれるコンパクト集合K'が存在してK'
> で値が一致することになるが(Ω\K)∩K'では値が一致
> せずかつ値が一致するからΩ\Kで値が一致しないこ
> とはなくΩ全体で値が一致する[証明終了]

読点を使わずにこんなに長い日本文を書いてはいけない

86 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/16(土) 11:43:49 ID:
>>84-85
笑える

言っている尻からこれか?

おい、>>83の証明を読んでやれ!(^^

そうすりゃ、おれが素人証明を読まない気持ちが、分るだろう(^^

87 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/16(土) 11:52:45 ID:
おれが、素人証明を読む条件としては

1.その命題が、成立すると確信がある場合
2.その命題が、成立する場合でも、成書あるいはPDFなど出版物に証明がある場合は、そちらを主にして読む
3.まず読まないのが、この数学板に書き散らされた素人証明だよ

>>78のPDFは、まだ読めるが
条件1の「成立すると確信がある場合」に該当しないから、真剣に読むつもりなしだ
いま、条件2を探している

88 132人目の素数さん 2017/12/16(土) 12:02:21 ID:
と、素人以下のバカが申しております

89 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/16(土) 12:21:33 ID:
>>87 補足

正直、>>78のPDFは、ざっと読んだが
どこにギャップがあるか、分らなかったし、ギャップを見つける自信がなかった

なので、反例から攻めることにした
PDFの定理1.7(>>79)の証明を読むより、いろいろ自分で調べた文献を読む方が、面白いしね(^^

90 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/16(土) 12:24:23 ID:
>>87-88
時枝はさ、明らかに不成立だからね
証明なぞ、読む価値なしだよ

91 132人目の素数さん 2017/12/16(土) 12:30:23 ID:
>1.その命題が、成立すると確信がある場合
>2.その命題が、成立する場合でも、成書あるいはPDFなど出版物に証明がある場合は、そちらを主にして読む
と広言するからには教科書はバッチリかと思いきや、εδすら理解していないスレ主だったとさ

92 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/16(土) 12:37:30 ID:
他のスレでも上がっているが、一応アップする
(いまのところ、朝日のみ)

http://www.asahi.com/articles/ASKDH5VLYKDHPLBJ002.html
望月氏のABC予想「証明」、独創的すぎて数学者も苦闘 朝日
嘉幡久敬、阿部彰芳2017年12月16日08時58分

http://www.asahi.com/articles/ASKDD5Q6MKDDPLBJ007.html?iref=com_alist_8_03
数学の超難問・ABC予想を「証明」 望月京大教授 朝日
石倉徹也2017年12月16日03時01分

93 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/16(土) 12:46:47 ID:
>>81
>>91
その”εδ”な、「スレ主、おまえ”εδ”分ってない。おれ、分っているぞ」と、言った方々
ピエロ、High level people、おっちゃん、”おまえ”(^^

みな、証明間違ったろ~(^^

>>78のPDFを書いた”ID:14lo33mI”さんとは、未決着だがね(^^
>>78のPDFについては、おいおい書いて行く

94 132人目の素数さん 2017/12/16(土) 12:57:40 ID:
502 名前:132人目の素数さん[] 投稿日:2017/08/15(火) 19:14:09.11 ID:MgvDl1uC

【悲報】スレ主がεN論法を全く理解していないことが判明

http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1502430243/473
>∀n∈N,∃m∈N,n≦m
>∃m∈N,∀n∈N,n≦m

http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1502430243/497
>命題1は、不成立。理由は、Nに上限はないから
>命題2は、成立。理由は、第一条件であるm∈Nを取って、その範囲で、”第二条件(小前提)∀n∈N, 結論 n≦m”が成り立つようにできる

http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1502430243/569
逆ですよー :-)
命題1 は成立するのです。どんな n についても、それぞれの n がそれ以上の自然数を持っていますから。
命題2 は成立しません。すべての自然数nに対して絶対的に n <= m となる特定の自然数mは存在しません。

95 132人目の素数さん 2017/12/16(土) 13:23:35 ID:
スレ主は「基本的なε-δ論法」を理解していないので証明を読むのは無理なのであった。

649 132人目の素数さん sage 2017/12/13(水) 21:47:45.73 ID:Emn1o5My
>>644
まずは補題1.5から始める。

補題1.5は、実質的には 0.5ページ 程度の分量しかない。その内容も、
limsup の定義に沿って基本的なε-δ論法を展開するだけである。
この程度の内容が読めないわけがないし、この程度の内容に徒労もクソもない。

96 132人目の素数さん 2017/12/16(土) 13:27:21 ID:
>>64
おっちゃんです。
><おっちゃんの>>49の訂正命題>
>Iを開区間とする。
>連結な距離空間 R^2 から誘導される位相について、高々1個の正の実数εに対し、
>高々2個のIの異なる有理点 a,b に対してそれぞれy-座標が a' ,b' が定まって得られるような、
>連結距離空間 R^2 上のε-近傍 U_ε(a, a'), ε-近傍 U_ε(b, b') の各閉包を完全集合とする。
>このとき、Iを定義域とし、任意のIの有理点で不連続、かつ任意のIの無理点で連続となる実関数 f(x) は存在しない。
><おわり>
>
>申し訳ないが、おれにはこの命題の意味がとれない
その命題の意味? 開区間Iを定義域とし、任意のIの有理点で不連続、
かつ任意のIの無理点で微分可能となる実関数 f(x) は存在しないことを示すための準備。
この場合は完全集合は閉区間と同じ扱いになる。その完全集合つまり閉区間についての
元の仮定が偽で、結論も偽の命題なんだから、対偶を取れば正しい命題になって数学的には正しい命題になる。
今気付いたが、ε-δ だけで示せるだろう。ただ、もっと長くなるとは思う。

>1)普通の開区間Iと何が違う?
この場合も含めて普通は、連結な距離空間 R^2 に定められた距離関数はユークリッド平面 R^2 に
定義された任意の2点に定義された通常の距離の取り方をするが、距離関数の取り方次第では
他の距離関数が定義されたユークリッド平面 R^2 を連結な距離空間として扱うことも出来る。
このときは空間 R^2 を通常のユークリッド平面 R^2 とは異なる扱いをすることになる。
そして、ユークリッド平面 R^2 からその高々有限個の点からなる
離散距離空間を構成することも出来て、通常の距離とは異なる扱いをすることも出来る。

>2)”普通の1変数関数 (x,y)∈R^2 y=f(x) で、通常のユークリッド距離空間(√(x^2+y^2))”と何が違う?
この場合は普通のユークリッド距離関数と同じと考えて問題はない。
普通はユークリッド平面 R^2 を連結な距離空間として扱うとき、その距離関数は任意の2点間に定義されたような通常の距離関数の取り方をする。

97 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/16(土) 13:27:28 ID:
>>79 補足

”定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする.
Bf :={x ∈ R | lim sup y→x |(f(y) - f(x))/(y - x)|< +∞ }
と置く: もしR-Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、 f はある開区間の
上でリプシッツ連続である.

よって、 f は(a, b) 上でリプシッツ連続である.”

これで、
1.”内点を持たない閉集合”とは、平たく言えば、「ただ1点」ってことだ
2.”被覆できる”とは、平たく言えば、「和集合」ってことだ
3.で、”高々可算”というけれど、有限なら、「 f は(a, b) 上でリプシッツ連続」はトリビアだ
4.もし、”可算無限”でも、どこかに偏在すれば、当然偏在箇所以外では、「 f は(a, b) 上でリプシッツ連続」もトリビアだ
5.だから、この定理1.7のキモは、「”可算無限”リプシッツ”不”連続な点が稠密に分散していることは(数学的に)ありえない」ということ
 (∵「リプシッツ”不”連続な点が稠密に分散」ならば、”(a, b) 上でリプシッツ連続”と矛盾するから)

つづく

98 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/16(土) 13:28:10 ID:
>>97 つづき

6.で、”可算無限”は本質だな
  例えば、>>81 THEOREM: Let g be continuous and discontinuous on sets of points that are each dense in the reals.
  " In fact, g fails to satisfy a pointwise Lipschitz condition, a pointwise Holder condition, or even any specified pointwise modulus of continuity condition on a co-meager set.
  (Each co-meager set has c points in every interval.)"
  ここで、”on a co-meager set”は、dense(稠密)。(∵ 最初の仮定 ”each dense in the reals”だから)
  co-meagerは、非可算濃度(∵ >>72より 「残留的 (residual, comeagre) であるとは、その補集合 X \ A が痩せていることを言う。」
  「X において第一類 (first category) または痩せている (meagre) とは、それが可算個の疎集合の和になっていることを言う。」)
  (なお>>35 "** f_w is differentiable on a set whose complement has Hausdorff dimension zero. Jurek [4] (pp. 24-25)" も補足しておく。)
7.つまり、かの定理1.7は、ちょうど「”可算無限”リプシッツ”不”連続な点が稠密に分散していることは(数学的に)ありえない」という主張に等価
  (「”非可算無限”リプシッツ”不”連続な点が稠密に分散していることは(数学的に)可能」であるにも拘わらず)

で、私スレ主が、疑問に思うのは、「本当に、それ成り立つのか?」ということ
それを、いま調べているのだ

以上

99 132人目の素数さん 2017/12/16(土) 13:33:03 ID:
>>93
>その”εδ”な、「スレ主、おまえ”εδ”分ってない。おれ、分っているぞ」と、言った方々
>ピエロ、High level people、おっちゃん、”おまえ”(^^
>みな、証明間違ったろ~(^^
相変わらず錯乱してるw 証明? 間違った? ちゃんと薬飲めよ?

100 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/16(土) 13:33:29 ID:
>>93-95
つー、>>97-98(^^

101 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/16(土) 13:36:02 ID:
>>99
では、質問二つ

1.時枝の成立を信じているかい?(^^
2.>>78のPDFの証明読んだか? 正しいと思うかい?(^^

102 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/16(土) 13:39:59 ID:
>>96

おっちゃん、どうも、スレ主です。

>>34 http://corollary2525.hatenablog.com/entry/2017/10/24/070606
トマエ関数の性質と連続関数の極限による表示 Corollaryは必然に。 コロちゃんぬ (id:corollary2525) 2017-10-24
(抜粋)

定理
トマエ関数は次の性質を持つ:
有理数で不連続
無理数で連続.
(引用終り)

を熟読願いたし(^^

>元の仮定が偽で、結論も偽の命題なんだから、対偶を取れば正しい命題になって数学的には正しい命題になる。

意味分らん(^^

103 132人目の素数さん 2017/12/16(土) 13:48:58 ID:
>>102
対偶を取って命題を把握しろってことだよ。
前提をp、結論をqとしたら、命題 p⇒q とその対偶の命題 ¬q ⇒ ¬p とは同値な命題になるだろ。
これは高校で習ったろ。

104 132人目の素数さん 2017/12/16(土) 13:49:20 ID:
>>93
しかも日本語が全く読めていない
俺は
-----------------------------------
>1.その命題が、成立すると確信がある場合
>2.その命題が、成立する場合でも、成書あるいはPDFなど出版物に証明がある場合は、そちらを主にして読む
と広言するからには教科書はバッチリかと思いきや、εδすら理解していないスレ主だったとさ
-----------------------------------
と言ったにもかかわらず、何故か教科書すら理解していないことには全く触れず
他人の中傷を始める始末。(スレ主がεδを理解していないことは事実なので中傷
ではない。一方俺が証明を間違えたというのは事実ではないので中傷である。)

スレ主に数学は20年早い、国語と道徳からやり直すべき。

105 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/16(土) 13:58:01 ID:
>>104
最下位のこしぎんちゃくが、なにを焦っている(^^

日本語が全く読めていない

質問二つ

1.時枝の成立を信じているかい?(^^
2.>>78のPDFの証明読んだか? 正しいと思うかい?(^^
>>101より再録)

106 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/16(土) 13:59:11 ID:
>>103
おっちゃん、どうも、スレ主です。

対偶は、いいわ。些末だから

>>34 http://corollary2525.hatenablog.com/entry/2017/10/24/070606
トマエ関数の性質と連続関数の極限による表示 Corollaryは必然に。 コロちゃんぬ (id:corollary2525) 2017-10-24
(抜粋)

定理
トマエ関数は次の性質を持つ:
有理数で不連続
無理数で連続.
(引用終り)

を熟読願いたし(^^

107 132人目の素数さん 2017/12/16(土) 14:07:43 ID:
>1.時枝の成立を信じているかい?(^^
信じる信じないではない、正しいか正しくないかだ。
時枝記事は正しい。
スレ主は学力が無いから理解できないだけのこと。

>2.>>78のPDFの証明読んだか? 正しいと思うかい?(^^
読んでない。

108 132人目の素数さん 2017/12/16(土) 14:09:01 ID:
>なにを焦っている(^^
焦って数学なぞに手を出してるのはスレ主
お前が今すべきは国語と道徳の学習だ

109 132人目の素数さん 2017/12/16(土) 14:10:11 ID:
それと薬も欠かさず飲むこと

110 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/16(土) 14:36:58 ID:
>>98 関連

>>35より、いままでと、重複もあるが、”co-meager”関連引用)
http://mathforum.org/kb/message.jspa?messageID=5432910
Topic: Differentiability of the Ruler Function Dave L. Renfro Posted: Dec 13, 2006 Replies: 3 Last Post: Jan 10, 2007
(抜粋)
Using ruler-like functions that "damp-out" quicker than any power of f gives behavior that one would expect from the above.

Let w:Z+ --> Z+ be an increasing function that eventually majorizes every power function.
Define f_w(x) = 0 for x irrational, f_w(0) = 1, and f_w(p/q) = 1/w(q) where p and q are relatively prime integers.

** f_w is differentiable on a set whose complement has Hausdorff dimension zero. Jurek [4] (pp. 24-25)

Interesting, each of the sets of points where these functions fail to be differentiable is large in the sense of Baire category.

THEOREM: Let g be continuous and discontinuous on sets of points that are each dense in the reals.
Then g fails to have a derivative on a co-meager (residual) set of points.
In fact, g fails to satisfy a pointwise Lipschitz condition, a pointwise Holder condition, or even any specified pointwise modulus of continuity condition on a co-meager set.
(Each co-meager set has c points in every interval.)

つづく

111 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/16(土) 14:37:26 ID:
>>110 つづき

[13] Gerald Arthur Heuer, "Functions continuous at irrationals and discontinuous at rationals", abstract of talk given 2 November 1963 at the annual fall meeting of the Minnesota Section of the MAA, American Mathematical Monthly 71 #3 (March 1964), 349.

The complete text of the abstract follows, with minor editing changes to accommodate ASCII format.

Earlier results of Porter, Fort, and others suggest additional questions about the functions in the title. Differentiability and Lipschitz conditions are considered. Special attention ispaid to the ruler function (f) and its powers.
Sample results:
THEOREM:
If 0 < r < 2, f^r is nowhere Lipschitzian; f^2 is nowhere differentiable, but is Lipschitzian on a dense subset of the reals.
THEOREM:
If r > 0, f^r is continuous but not Lipschitzian at every Liouville number;
if r > 2, f^r is differentiable at every algebraic irrational.
THEOREM:
If g is continuous at the irrationals and not continuous at the rationals, then there exists a dense uncountable subset of the reals at each point of which g fails to satisfy a Lipschitz condition.

REMARK BY RENFRO:
The last theorem follows from the following stronger and more general result.
Let f:R --> R be such that the sets of points at which f is continuous and discontinuous are each dense in R.
Let E be the set of points at which f is continuous and where at least one of the four Dini derivates of f is infinite.
Then E is co-meager in R (i.e. the complement of a first category set).
This was proved in H. M. Sengupta and B. K. Lahiri, "A note on derivatives of a function",
Bulletin of the Calcutta Mathematical Society 49 (1957), 189-191 [MR 20 #5257; Zbl 85.04502]. See also my note in item [15] below.

つづく

112 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/16(土) 14:37:52 ID:
>>111 つづき

[15] Gerald Arthur Heuer, "Functions continuous at the irrationals and discontinuous at the rationals", American Mathematical Monthly 72 #4 (April 1965), 370-373. [MR 31 #3550; Zbl 131.29201]

NOTE: Sengupta/Lahiri had essentially obtained this result in 1957 (the points of discontinuity have to form an F_sigma set, however).
See my remark in [13] above.
This result is also proved in Gerald Arthur Heuer, "A property of functions discontinuous on a dense set", American Mathematical Monthly 73 #4 (April 1966), 378-379 [MR 34 #2791].
Heuer proves that for each 0 < s <= 1 and for each f:R --> R such that {x: f is continuous at x} is dense in R and {x: f is not continuous at x} is dense in R, the set of points where f does not satisfy a pointwise Holder condition of order s is the complement of a first category set (i.e. a co-meager set).
By choosing s < 1, we obtain a stronger version of Sengupta/Lahiri's result.
By intersecting theco-meager sets for s = 1/2, 1/3, 1/4, ..., we get a co-meager set G such that, for each x in G, f doesnot satisfy a pointwise Holder condition at x forany positive Holder exponent.
(Heuer does not explicitly state this last result.)
A metric space version of Heuer's result for an arbitrary given pointwise modulus of continuity condition is essentially given in: Edward Maurice Beesley, Anthony Perry Morse, and Donald Chesley Pfaff, "Lipschitzian points", American Mathematical Monthly 79 #6 (June/July 1972), 603-608 [MR 46 #304; Zbl 239.26004].

See also the last theorem in Norton [17] below.

つづく

113 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/16(土) 14:38:16 ID:
>>112 つづき

[17] Alec Norton [Kercheval], "Continued fractions and differentiability of functions", American Mathematical Monthly 95 #7 (Aug./Sept. 1988), 639-643. [MR 89j:26009; Zbl 654.26006]

On p. 643, Norton proves the following result.

THEOREM:
Let f:R --> R be discontinuous on a set of points that is dense in R.
Then there exists a co-meager (i.e. residual) set B such that for all x in B and for all s > 0, f fails to satisfy a pointwise Holder condition of order (exponent) s at x.
NOTE: See also the comments I make in Heuer [15] and Nymann [16] above.

(引用終り)

以上

114 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/16(土) 14:38:38 ID:
>>107

ご苦労さん
正直で良いわ

115 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/16(土) 14:39:16 ID:
>>108
確かに、あんた、道徳はOKかも(>>114
うそつきサイコパスのピエロとは、違うね(^^

116 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/16(土) 14:43:18 ID:
>>110
>(Each co-meager set has c points in every interval.)

"c points"の意味が分らん(^^
”critical”か”cotinuous”かな?

117 132人目の素数さん 2017/12/16(土) 14:44:36 ID:
>正直で良いわ
つまり学力不足で時枝記事を理解できないと認めるわけだな?

118 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/16(土) 15:04:54 ID:
>>116
>"c points"の意味が分らん(^^

違うかも知れないが、検索ヒットと他にめぼしいヒットがないので下記を貼る
(下記だと、cは連続濃度の意味だね)
https://mathoverflow.net/questions/102386/is-a-random-subset-of-the-real-numbers-non-measurable-is-the-set-of-measurable
(抜粋)
Is a random subset of the real numbers non-measurable? Is the set of measurable sets measurable?
edited Nov 29 '12 at 22:06

19 answered Jul 16 '12
The answer to your second question (assuming the axiom of choice, to dodge Asaf's comment) is that 2^R/Σ has dimension 2^c, where c=2^?0 is the cardinality of the continuum.
The main ingredient of the proof is a partition of [0,1] into c subsets, each of which intersects every uncountable closed subset of [0,1].
To get such a partition,
first note that there are only c closed subsets of [0,1], so you can list them in a sequence of length (the initial ordinal of cardinality) c in such a way that each closed set is listed c times.
Second, recall that every uncountable closed subset of [0,1] has cardinality c.
Finally, do a transfinite inductive construction of c sets in c steps as follows:
At any step, if the closed set at that position in your list is C and if this is its α-th occurrence in the list,
then put an element of C into the α-th of the sets under construction, being careful to use an element of C that hasn't already been put into another of the sets under construction.
You can be this careful, because fewer than c points have been put into any of your sets in the fewer than c preceding stages, while C has c points to choose from. At the end, if some points in [0,1] remain unassigned to any of the sets under construction, put them into some of these sets arbitrarily, to get a partition of [0,1].

つづく

119 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/16(土) 15:05:17 ID:
>>118 つづき

Once you have this partition, notice that every piece has outer measure 1, because otherwise it would be disjoint from some closed set that has positive measure and is therefore uncountable. This implies that, among the 2c2c sets that you can form as unions of your partition's pieces, only φ and [0,1] can be measurable.
In particular, no finite, nonempty, symmetric difference of these pieces is measurable.
That is, they represent linearly independent elements of 2^R/Σ.
(引用終り)

120 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/16(土) 15:09:33 ID:
>>117
いやいや、正直は、PDF読んでないの方
時枝の誤読は、君だけじゃない。最下位レベルでは無理ないよ

121 132人目の素数さん 2017/12/16(土) 15:16:14 ID:
>>120
誤読とは?

122 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/16(土) 15:32:29 ID:
>>111

フルペーパーまではゲットできず(^^
まあ、Abstractだけでも
http://www.calmathsoc.org/bulletin/article.php?ID=B.1957.49.31
Bulletin of the Calcutta Mathematical Society

Article Details
Article ID B.1957.49.31
Title A Note on Derivatives of a Function
Author H.M. Sengupta & B.K. Lahiri
Issue Vol. 49, No. 4, - 1957
Article No. 31, Pages 189-191

Abstract
Recently Prof. Fort Jr. (1951) has proved a striking theorem regarding the differentiability of a function which is discontinuous over an everywhere dense set and continuous over an everywhere dense set.
He has proved that if the set of points where the function is discontinuous be everywhere dense and if there be an everywhere dense set of points where f(x) is continuous, then the set of points (if it exists) where the function is differentiable is a set of the first category.
He proves this by showing that the set of points where f(x) is continuous but not differentiable is a residual set.
In this note it is a proposed to show that in case there is an everywhere dense set of points when f(x) is discontinuous and an everywhere dense set of points where f(x) is continuous, then there always exists a residual set at each point of which at least one of the four derivatives D^+f, D_+f, D^-f is infinite.
In this connection, we refer to an article by W.H. Young (1903) [see Hobson, 1927] where it is proved that for any function f(x) defined in a

Latex Reference [BiBTeX format]

@ARTICLE { [citing tag of your choice],
? ?AUTHOR = {H.M. Sengupta & B.K. Lahiri},
? ?TITLE = {A Note on Derivatives of a Function},
? ?YEAR = {1957},
? ?JOURNAL = "Bulletin of Cal. Math. Soc.",
? ?VOLUME = {49},
? ?NUMBER = {4},
? ?PAGES = {189-191} }
以上

123 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/16(土) 15:33:03 ID:
>>121
「ぷふ」さんが教えてくれるよ(^^

124 132人目の素数さん 2017/12/16(土) 15:54:07 ID:
>>123
一言も見解を述べれなかったアホに何ができるって?

125 132人目の素数さん 2017/12/16(土) 16:04:32 ID:
>>106
トーメ関数でも何でもいいけど、それとよく似た性質を持つような、
開区間Iを定義域とし、任意のIの有理点で不連続、かつ任意のIの無理点で連続となる実関数 f(x)
の存在性によって
>連結な距離空間 R から誘導される通常の位相について、高々1個の正の実数εに対し、
>高々2個の開区間Iの異なる有理点 a,b に対してそれぞれ定まって得られるような、
>連結距離空間 R 上の閉区間 [a+ε, a+ε]、[b+ε, b+ε] 「のみに限り完全集合となるようなことはあり得ない」。
となって、元の仮定が否定がされるから、
>連結な距離空間 R から誘導される通常の位相について、2個以上の正の実数εに対し、
>3個の開区間Iの相異なる有理点 a,b,c に対してそれぞれ定まって得られるような、
>連結距離空間 R 上の閉区間 [a+ε, a+ε]、[b+ε, b+ε]、[c+ε, c+ε] は完全集合となる。
というごく当たり前のことが従う。

126 132人目の素数さん 2017/12/16(土) 16:14:51 ID:
>>106
>>125の訂正:
下から6行目: [a+ε, a+ε]、[b+ε, b+ε] → [a-ε, a+ε]、[b-ε, b+ε]
下から2行目: [a+ε, a+ε]、[b+ε, b+ε]、[c+ε, c+ε] → [a-ε, a+ε]、[b-ε, b+ε]、[c-ε, c+ε]

127 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/16(土) 16:21:46 ID:
>>97-98
<いままで読み込んだ調査文献からの暫定結論>

1.>>110 "Let g be continuous and discontinuous on sets of points that are each dense in the reals."
   ↓
  ”g fails to satisfy a pointwise Lipschitz condition, a pointwise Holder condition, or even any specified pointwise modulus of continuity condition on a co-meager set.”
  (Each co-meager set has c points in every interval.)”
  なので、”continuous and discontinuous”&”each dense”は、本質で、これを、”リプシッツ連続とリプシッツ"不"連続”&”each dense”に緩めることはできない
2.その理由は、”continuous and discontinuous”&”each dense”の絡みで、”g fails to satisfy a pointwise Lipschitz condition, a pointwise Holder condition, or even any specified pointwise modulus of continuity condition on a co-meager set."
  が出るのであって、リプシッツ"不"連続に緩めたら、”a pointwise Holder condition, or even any specified pointwise modulus of continuity condition”は言えないだろうということ
  (1と同じことの言い換えみたいだが・・、うまく書けないね(^^ )
3.あと、まだ分らないのが、無理数と有理数に限定した、ruler-like functionsや下記の変形トマエ関数などで、関数の減衰で、無理数での微分可能点が増減するメカニズム
4.あと、”Bf :={x ∈ R | lim sup y→x |(f(y) - f(x))/(y - x)|< +∞ }と置く:
  もしR-Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる”
  で、R上R-Bfが稠密になる関数が、反例として本当に構成できるかどうか?(可能と思うが・・)
 (R-Bfは、リプシッツ"不"連続であって、通常の不連続とは違うという理解なのだが、それで良いかどうかも、そこがいまいち分らんが・・(^^ )

まあ、もう少し調べるか(^^

つづく

128 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/16(土) 16:22:20 ID:
>>127 つづき

(参考)
スレ46 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1510442940/398
<引用>
http://www.unirioja.es/cu/jvarona/downloads/Differentiability-DA-Roth.pdf
DIFFERENTIABILITY OF A PATHOLOGICAL FUNCTION,
DIOPHANTINE APPROXIMATION,
AND A REFORMULATION
OF THE THUE-SIEGEL-ROTH THEOREM
JUAN LUIS VARONA
This paper has been published in Gazette of the Australian Mathematical Society, Vol-
ume 36, Number 5, November 2009, pp. 353{361.
Received 29 February 2008; accepted for publication 6 October 2009.
(抜粋)

ここに
fν(x)
=0 if x ∈ R - Q(無理数)
=1/q^ν if x = p/q ∈ Q, irreducible (有理数で既約分数)


Theorem 1. For ν > 2, the function fν is discontinuous (and consequently not differentiable) at the rationals, and continuous at the irrationals.
With respect the differentiability, we have:
(a) For every irrational number x with bounded elements in its continued fraction expansion, fν is differentiable at x.
(b) There exist infinitely many irrational numbers x such that fν is not differentiable at x.
Moreover, the sets of numbers that fulfill (a) and (b) are both of them un-countable.
(引用終り)

以上

129 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/16(土) 16:25:43 ID:
>>124
何をして貰えるかって?
「ぷふ」さんに聞いてみな(^^

130 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/16(土) 16:30:16 ID:
>>125
おっちゃん、どうも、スレ主です。

1.
おっちゃんの定理
>>96より)
”このとき、Iを定義域とし、任意のIの有理点で不連続、かつ任意のIの無理点で連続となる実関数 f(x) は存在しない。”

2.
トマエ関数
>>106より)
定理
トマエ関数は次の性質を持つ:
有理数で不連続
無理数で連続.

この1と2は、矛盾しないのかと、聞いているのだが?

131 132人目の素数さん 2017/12/16(土) 16:43:09 ID:
>>130
私が示したのは
>開区間Iを定義域とし、任意のIの有理点で不連続、かつ任意のIの無理点で連続となる実関数 f(x) が存在ならば、
>連結な距離空間 R から誘導される通常の位相について、高々1個の正の実数εに対し、
>高々2個の開区間Iの異なる有理点 a,b に対してそれぞれ定まって得られるような、
>連結距離空間 R 上の閉区間 [a-ε, a+ε]、[b-ε, b+ε] を完全集合とする「ことは出来ない」。
の方(の対偶)だよ。トーメ関数及びそれによく似た性質を持つ関数は数学的に存在するから何も問題ないだろ。

132 132人目の素数さん 2017/12/16(土) 16:58:17 ID:
>>130
一応、>>131
>トーメ関数及びそれによく似た性質を持つ関数は数学的に存在するから何も問題ないだろ。
の部分は
>(任意の)閉区間 [a-ε, a+ε]、[b-ε, b+ε] は完全集合だから問題ないだろ。
と書くべきだった。

133 132人目の素数さん 2017/12/16(土) 17:17:43 ID:
>>129
アホに聞いても無意味

134 132人目の素数さん 2017/12/16(土) 17:56:34 ID:
スレ主のヤツ、、、
スレが進むにつれて、どんどん態度がデカくなってる、というか悪くなってるな。

何か勘違いしてるわな。

135 132人目の素数さん 2017/12/16(土) 18:10:39 ID:
そもそも
ぷはこれといった数学的発言を一度もしていない
にもかかわらず何故スレ主はぷを手放しで称賛するのか?
不自然極まりないではないか?
潔く白状せよスレ主

136 132人目の素数さん 2017/12/16(土) 18:12:07 ID:
>>134
スレ主みたいな性格の悪い人が現実にいると思うと怖いよね

137 132人目の素数さん 2017/12/16(土) 19:46:34 ID:
>>136
証明書いた人?

138 132人目の素数さん 2017/12/16(土) 19:48:09 ID:
>>137
いいえ

ぷ君こんばんは

139 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/16(土) 21:15:20 ID:
>>137-138
これだけで、「ぷふ」さんと分るのか・・? (おれには分らなかったがね(^^ )

とすると、ID:wsqRW9GAは、High level people かい?

140 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/16(土) 21:18:58 ID:
>>131
>>連結距離空間 R 上の閉区間 [a-ε, a+ε]、[b-ε, b+ε] を完全集合とする「ことは出来ない」。

"完全集合"? うーん、意味わからん・・(^^
https://kotobank.jp/word/%E5%AE%8C%E5%85%A8%E9%9B%86%E5%90%88-49117
完全集合 かんぜんしゅうごうperfect set
ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典の解説
(抜粋)
位相空間 S の部分集合 A が完全集合であるとは,A が孤立点をもたない閉集合であることをいう。すなわち,A の集積点の全体 A' が A と一致するときである。

世界大百科事典内の完全集合の言及
【集合】より
… 集合Sに対し,Sの集積点全体のなす集合をSの導集合という。それがSと一致するとき,Sは完全集合であるという。
[カントル集合]
 次に示すカントル集合は,(1)完全集合であって,(2)内点をもたず,(3)どんな正数εを与えても,長さの和がε以内であるような線分で覆うことができるということから,長さ0と考えられ,(4)濃度は連続体の濃度であるということで有名である。…

※「完全集合」について言及している用語解説の一部を掲載しています。
(引用終り)

http://pc1.math.gakushuin.ac.jp/‾kawasaki/16isoukuukan.pdf
12. '16位相空間 川崎 徹郎 教授 学習院数学科
(抜粋)
定義(X,O) を位相空間とする。その部分集合A X に対して:
(i) A の集積点の全体をAd またはA′ で表して,A の導集合という。(触点の全体は閉包である。)
(ii) A の境界点の全体を∂A で表して,A の境界という。
(iii) A の内点の全体をIntA で表して,A の内部という。
(iv) A = Ad を満たすとき,A を完全集合という。
注意距離空間の場合,導集合Ad は閉集合であるが,一般の位相空間においては,閉集合とは限らない。
(引用終り)

http://pc1.math.gakushuin.ac.jp/‾kawasaki/
ようこそ! 川崎研究室文庫です。
http://www.math.gakushuin.ac.jp/%E3%83%A1%E3%83%B3%E3%83%90%E3%83%BC/%E6%95%99%E6%8E%88/%E5%B7%9D%E5%B4%8E-%E5%BE%B9%E9%83%8E-%E6%95%99%E6%8E%88-2/
川崎 徹郎 教授 学習院数学科 かわさき てつろう KAWASKI, Teturou 専攻分野: 位相幾何学

141 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/16(土) 21:30:49 ID:
>>140
>位相空間 S の部分集合 A が完全集合であるとは,A が孤立点をもたない閉集合であることをいう。

関連
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AD%A4%E7%AB%8B%E7%82%B9
孤立点
(抜粋)
位相空間論において、位相空間 X の点 x が X の部分集合 S の孤立点(こりつてん、英: isolated point)であるとは、x が S に属し、かつ、x の近傍であって x 以外の S の点がひとつも含まれないようなものが存在することをいう。

特に X がユークリッド空間(あるいはもっと一般の距離空間)の場合に即して言えば、x が S の孤立点であるとは、x を中心とする開球体のうち x 以外の S の点を含まないものが存在するということを意味する。

別な言葉で言えば、点 x ∈ S が S において孤立するための必要十分な条件は、x が S の集積点とはならないことである。

孤立点のみから成る集合を離散集合 (discrete set) という。
ユークリッド空間における離散部分集合は可算である
(これは有理数全体のなす集合 Q が実数全体のなす集合 R において稠密であるという事実に基づけば、ユークリッド空間における部分集合の各点を孤立させるというのは、有理数を座標に持つ点(有理点)からなる集合に一対一に写すという意味になるためである)。

一方、可算だが離散的でない集合が存在しうる(例えば有理数全体の集合 Q に差の絶対値(英語版)を距離函数とした距離空間)。離散空間も参照。

孤立点を持たない集合は自己稠密(英語版)であるという。孤立点を持たない閉集合を完全集合(英語版)という。

つづく

142 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/16(土) 21:31:27 ID:
>>141 つづき

直観に反する例
実数直線内の開区間 (0, 1) に属する点 x であって、その二進小数展開の各位の数 (digit) xi が以下のような条件をすべて満足するもの全体の成す集合を F とする。

・xi = 0 または xi = 1 の何れかが成り立つ。
・xi = 1 となる添字 i は有限個しかない。
・m が xm = 1 なる最大の添字ならば xm?1 = 0 が成り立つ。
・xi = 1 かつ i < m ならば xi?1 = 1 または xi+1 = 1 が二者択一で成り立つ。
これは感覚的に言えば、x の二進小数展開の各位の数で 1 に等しいものはどれも連続した 1 の対で現れるが、最後の一つは孤立するということである。

さて F は全く孤立点のみからなる陽に表された集合である[1]一方で、F はその閉包が非可算集合になるという直観に反する性質を持つ[2]。

同様の性質を持つ集合 F の別な例は、単位閉区間 [0, 1] 内のカントール集合の補集合において、その各連結成分から一点(例えば中央点)を選び出すことでも与えられる。この集合の各点は孤立するが、F の閉包は F とカントール集合との合併であり、可算でない。

[1][2] https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AD%A4%E7%AB%8B%E7%82%B9#CITEREFGomez-Ramirez_2007
Gomez-Ramirez, Danny (2007), “An explicit set of isolated points in R with uncountable closure”, Matematicas: Ensenanza universitaria (Escuela Regional de Matematicas. Universidad del Valle, Colombia) 15: 145?147

(引用終り)

以上

143 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/16(土) 21:37:38 ID:
>>141 補足

”孤立点のみから成る集合を離散集合 (discrete set) という。
ユークリッド空間における離散部分集合は可算である
(これは有理数全体のなす集合 Q が実数全体のなす集合 R において稠密であるという事実に基づけば、ユークリッド空間における部分集合の各点を孤立させるというのは、有理数を座標に持つ点(有理点)からなる集合に一対一に写すという意味になるためである)。”

これは、常識として覚えておかねば(^^

>一方、可算だが離散的でない集合が存在しうる(例えば有理数全体の集合 Q に差の絶対値(英語版)を距離函数とした距離空間)。離散空間も参照。

「可算だが離散的でない集合が存在しうる(例えば有理数全体の集合 Q に差の絶対値(英語版)を距離函数とした距離空間)」

意味分らん。Qに距離を導入すると、離散的でない集合になるのかな・・(^^

>孤立点を持たない集合は自己稠密(英語版)であるという。孤立点を持たない閉集合を完全集合(英語版)という。

なるほど(^^

144 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/16(土) 22:33:15 ID:
>>143
>一方、可算だが離散的でない集合が存在しうる(例えば有理数全体の集合 Q に差の絶対値(英語版)を距離函数とした距離空間)。離散空間も参照。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%A2%E6%95%A3%E7%A9%BA%E9%96%93
数学の位相空間論周辺分野における離散空間(りさんくうかん、英: discrete space)は、その点がすべてある意味で互いに「孤立」しているような空間で、位相空間(またはそれと同様の構造)の非常に単純で極端な例の一つを与える。

性質
離散距離空間上の一様系は離散一様系であり、離散一様空間上の位相は離散位相である。故に、先に離散空間として挙げたいくつかの概念は、互いに両立する。他方、一様空間あるいは距離空間として離散でないものの中に、その位相が離散位相となるものが存在する。
例えば、実数直線における通常の距離からくる距離空間 X := {1/n : n = 1, 2, 3, …} を考えると、これが離散距離空間でないこと、また(完備でないから)一様空間としても離散でないことは明らかである。にもかかわらず、これは離散位相を備えた離散位相空間になる。
すなわち、この X は「位相的に離散」だが、「一様離散」でも「距離的に離散」でもないということになる。

さらに以下のようなことが成り立つ。

・離散空間の位相次元は 0 である。
・位相空間が離散であるための必要十分条件は、その一元集合が必ず開になることであり、あるいはそれが集積点を一切含まないことである。

・任意の離散位相空間は各種の分離公理を全て満たす。特に、任意の離散空間はハウスドルフ空間、つまり分離空間である。
・離散空間がコンパクトであることと、それが有限集合であることとは同値である。
・任意の離散一様空間あるいは離散距離空間は必ず完備空間である。
・上二つの事実をあわせれば、任意の離散一様または距離空間が全有界であるための必要十分条件は、それが有限集合であることである。
・任意の離散距離空間は有界空間である。
・任意の離散空間は第一可算空間であり、さらに第二可算空間であることと可算であることとが同値になる。
・少なくとも二点を含む任意の離散空間は完全不連結である。

つづく

145 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/16(土) 22:33:36 ID:
>>144 つづき

・任意の空でない離散空間は、ベールの第二類である。
・濃度が同じ二つの離散空間は互いに同相である。
・任意の離散空間は離散距離によって距離化可能である。
・有限空間が距離化可能なのは、それが離散空間であるときに限る。
・X が位相空間で Y が離散位相を備えた集合ならば、X は X × Y 二よって十分に被覆される(射影が所期の被覆になる)。

つづく

146 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/16(土) 22:35:22 ID:
>>145 つづき

離散位相空間から他の位相空間への任意の写像は連続であり、離散一様空間から他の一様空間への任意の写像は一様連続になる。つまり、離散空間 X は位相空間と連続写像の圏および一様空間と一様連続写像の圏における X 上の自由対象である。これらのことは、離散構造が集合上自由であるというより広い現象の例になっている。

距離空間の場合は、距離空間の圏においては射の取りようによって複数の圏を考えうるから、事態はより複雑になる。射として一様連続写像の全体や連続写像の全体を取れば、確かに離散位相空間は自由だが、これでは一様構造や位相構造について考えただけで、距離構造については何も言っていないに等しい。
距離構造についてより関連のある圏は、射をリプシッツ連続写像や弱縮小写像に限ればよいが、これらの圏は(二元以上を持つ集合上で)自由対象を持たない。それでも、離散距離空間は有界距離空間とリプシッツ連続写像の圏における自由対象であり、1 で押さえられる有界距離空間と弱縮小写像の圏における自由対象となる。
すなわち、離散距離空間からベルの有界距離空間への任意の写像はリプシッツ連続になり、離散距離空間から別の 1 で押さえられる有界距離空間への任意の写像は弱縮小になる。

別な方向で考えると、位相空間 Y から離散空間 X への写像 f が連続になるための必要十分条件は、それが局所定数函数になる(つまり、Y の各点の近傍でその上で f が定数となるようなものが存在する)になることである。

応用例
離散構造は、集合上にほかに自然な位相や一様系、距離が入らないときの「何もしない構造」としてもよく用いられる。また、離散構造は特定の仮定における「極端な」例としても用いられる。
例えば、任意の群は離散位相を与えることにより位相群と考えることができ、それにより位相群に対する結果を任意の群に対して適用することができる。実際、代数学で研究されてきた通常の非位相群について、解析学的に離散群として言及することがある。
これはいくつかの場合において実際に有効に応用されており、例えば、ポントリャーギン双対などが得られている。0-次元位相多様体(あるいは可微分多様体や解析的多様体)は離散位相空間に他ならないから、任意の離散群を 0-次元リー群と見ることもできる。

つづく

147 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/16(土) 22:35:51 ID:
>>146 つづき

自然数全体の成す離散空間の可算無限個のコピーの直積は、無理数全体の成す空間に同相であり、同相写像は連分数展開によって与えられる。二点から成る離散空間 {0, 1} の可算無限個のコピーの直積はカントール集合に同相であり、この直積に直積一様系を考えれば、実は一様同相になる。この同相写像は三進展開から得られる(カントール空間を参照)。

数学基礎論において、{0, 1} の積のコンパクト性の研究は、(選択公理よりも弱い)超フィルター原理への位相的取り組みにおいて中心的である。

密着位相
詳細は「密着空間」を参照
離散空間の対極にあるのが密着空間である(密着空間の位相は自明位相とも呼ばれる)。これは開集合の数が可能な限り最小(つまり空集合と全体集合のみ)となるような空間である。離散位相が始対象・自由対象であるのに対して、密着位相は終対象・余自由対象になる。つまり、位相空間「から」密着空間「への」任意の写像は連続になる、などの性質がなりたつ。

つづく

148 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/16(土) 22:36:32 ID:
>>147 つづき

関連項目
円筒集合

https://en.wikipedia.org/wiki/Cylinder_set
Cylinder set
(抜粋)
In mathematics, a cylinder set is the natural open set of a product topology. Cylinder sets are particularly useful in providing the base of the natural topology of the product of a countable number of copies of a set.
If V is a finite set, then each element of V can be represented by a letter, and the countable product can be represented by the collection of strings of letters.

Applications

Cylinder sets over topological vector spaces are the core ingredient in the formal definition of the Feynman path integral or functional integral of quantum field theory, and the partition function of statistical mechanics.

(引用終り)

以上

149 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/16(土) 22:47:53 ID:
>>144
>・位相空間が離散であるための必要十分条件は、その一元集合が必ず開になることであり、あるいはそれが集積点を一切含まないことである。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%98%E9%9B%86%E5%90%88
単集合 (一元集合から転送)
(抜粋)
数学における単集合(たんしゅうごう、英: singleton; 単元集合、単項集合、一元集合)あるいは単位集合(unit set[1])は、唯一の元からなる集合である。一つ組 (1-tuple) や単項列 (a sequence with one element) と言うこともできる。

例えば、{0} という集合は単集合である。

性質
ツェルメロ・フレンケル集合論の枠組みの中では正則性の公理が「自身を元とする集合」が存在しないことを保証するから、単元集合とその単元集合を含む集合とは必然的に異なる数学的対象を意味するものとなる[1]。
つまり、1 と {1} とは同じものではないし、空集合のみからなる単項集合 {?} は 空集合 ? ではない。また、例えば、{{1, 2, 3}} のような集合も唯一の集合(それ自体は単集合ではないが)を元として持つ単集合である。

単集合であることと、その集合の濃度が 1 であることは同値である。自然数の集合論的構成において、自然数の 1 とは単集合 {0} のことと定義される。

公理的集合論において、対の公理からの帰結として単元集合の存在が導かれる。
即ち、任意の集合 A に対して、A と A に対して対の公理を適用すれば {A, A} なる集合の存在が保証されるが、これは A のみを元に持ちそれ以外の元は持たないから、単元集合 {A} に他ならない。
ここで A は任意の集合でよい、といっても集合がそもそもまったく存在しない場合には意味がないが、空集合の公理があれば少なくとも空集合 ? は集合になるから、A = ? ととって先の議論は正当化できる。

任意の集合 A と単集合 S に対し、A から S への写像はちょうど一つだけ存在する(それは A の各元を S の唯一の元へ写すものである)。従って任意の単元集合は集合の圏にける終対象である。

つづく

150 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/16(土) 22:48:26 ID:
>>149 つづき

応用
位相幾何学において、ある空間の全ての単集合が閉集合であることと、その空間が T1-空間であることは同値である。

単集合を台として構築される構造が、様々な圏における終対象や零対象を与えることがしばしばある。例えば

・既に述べたように単集合は集合の圏 Set における終対象にちょうどなっており、他の集合で Set の終対象となるものは存在しない。
・任意の単集合は、唯1通りの(全ての部分集合を開集合とする位相を考える)方法で位相空間にすることができる。このような一元位相空間は位相空間と連続写像の圏 Top における終対象である。他にこの圏 Top の終対象となる位相空間は存在しない。
・任意の単集合は、唯1通りの(唯一の元を単位元とする)方法で群にすることができる。このような一元群(単位群)は、群と群準同形の圏 Grp における零対象である。他にこの圏 Grp の終対象となる群は存在しない。
(引用終り)

以上

151 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/16(土) 23:06:51 ID:
>>143
”孤立点のみから成る集合を離散集合 (discrete set) という。
ユークリッド空間における離散部分集合は可算である
(これは有理数全体のなす集合 Q が実数全体のなす集合 R において稠密であるという事実に基づけば、ユークリッド空間における部分集合の各点を孤立させるというのは、有理数を座標に持つ点(有理点)からなる集合に一対一に写すという意味になるためである)。”

リウヴィル数は、「リウヴィル数全体からなる集合は非可算集合であり、実数内で稠密であるが、1次元ルベーグ測度は 0 である」から、”孤立点のみから成る離散集合 (discrete set) ではない”ことになるのか・・。なるほど・・(^^
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%82%A6%E3%83%B4%E3%82%A3%E3%83%AB%E6%95%B0
リウヴィル数
(抜粋)
リウヴィル数(リウヴィルすう、Liouville number)とは、以下の定義を満たす実数 α のことである:任意の正整数 n に対して、

0<|α - p/q|< 1/q^n
を満たす有理数 p/q (q > 1) が少なくとも一つ存在する。

例えば、

l=Σ _{k=1}~{∞ }10^{-k!}=0.110001 000000 000000 000001 000000 000000 000000 ・・・
はリウヴィル数である。この数は、超越数であることが証明された初めての数である(ジョゼフ・リウヴィル、1844年)。特にこの数の場合、1が小数点以下、自然数の階乗の桁数に出現する(1!=1桁目、2!=2桁目、3!=6桁目、4!=24桁目、 ・・・ ・・・)。

有理数 α が 0 < |α| < 1 を満たし、整数からなる単調増加列 {ak}k ? 1 が ak + 1/ak → ∞ (k → ∞) を満たすとき、

Σ _{k=1}~{∞ }α ^{a_{k}
はリウヴィル数である。

性質
・リウヴィル数は超越数である(リウヴィルの定理)。
・リウヴィル数はマーラーの分類で U 数に属する。
・0 でない任意の実数は、2つのリウヴィル数の和、および積で表現することができる。
・リウヴィル数全体からなる集合は非可算集合であり、実数内で稠密であるが、1次元ルベーグ測度は 0 である。

つづく

152 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/16(土) 23:07:35 ID:
>>151 つづき

上記の性質より、ほとんど全ての超越数はリウヴィル数ではない。リウヴィル数でないことが知られている数としては以下のようなものが挙げられる。

・自然対数の底 e 。
・円周率 π。
・チャンパーノウン定数 0.123456789101112 ・・・ 。
・1 でない任意の有理数 r に対する log r 。
・任意の整数 d ≧ 2 に対する Σ _{n=1}~{∞ }d^{-n^2} 。

(引用終り)

以上

153 132人目の素数さん 2017/12/16(土) 23:37:32 ID:
バカを覆い隠すためひたすらコピペで埋め尽くすスレ主であったとさ

154 132人目の素数さん 2017/12/16(土) 23:45:18 ID:
スレ主のコピペにはうんざりだな

155 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/16(土) 23:46:40 ID:
>>127
<いままで読み込んだ調査文献からの暫定結論(修正版)>

1.(>>97より)
”定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする.
Bf :={x ∈ R | lim sup y→x |(f(y) - f(x))/(y - x)|< +∞ }
と置く: もしR-Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、 f はある開区間の
上でリプシッツ連続である.

よって、 f は(a, b) 上でリプシッツ連続である.”

ここで、"Bf :={x ∈ R | lim sup y→x |(f(y) - f(x))/(y - x)|< +∞ }","R-Bf"において
「< +∞」の解釈が問題となる

2."R-Bf"が、単純にリプシッツ”不”連続点ではなく、実質的に不連続点の集合と考えるならば、
 「内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる」は、つまり変形トマエ関数などの有理点での不連続点で、それは”孤立点のみから成る離散集合 (discrete set) ”とできる。
 (繰返すが、この場合、上記定義のリプシッツ”不”連続は、実質通常の不連続点と解することができる。)

3.そうすると、>>110 の”THEOREM: Let g be continuous and discontinuous on sets of points that are each dense in the reals. g fails to satisfy a pointwise Lipschitz condition, a pointwise Holder condition, or even any specified pointwise modulus of continuity condition on a co-meager set.”
 が適用できて
 co-meager setは、リウヴィル数全体からなる集合と同様で、”非可算集合であり、実数内で稠密であるが、1次元ルベーグ測度は 0 ”となる
 この場合、実数内で稠密であるから、”リプシッツ連続である区間(a, b) を取ること”はできない。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%97%E3%82%B7%E3%83%83%E3%83%84%E9%80%A3%E7%B6%9A
リプシッツ連続
(抜粋)
定義

実多変数の実数値函数に対して、これが成り立つのは、任意の割線の傾きの絶対値が K で抑えられるときであり、かつそのときに限る。函数のグラフ上の一点を通る傾き K の直線全体の成す集合は円錐を成すから、したがって函数がリプシッツ連続であるための必要十分条件は、その函数のグラフが至る所この錐のまったく外側にあることである。
(引用終り)

156 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/16(土) 23:49:42 ID:
>>153-154
つー、良いタイミングで書いてくれるよ(>>155) (^^

157 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/16(土) 23:54:32 ID:
>>64 戻る

<おっちゃんの>>49の訂正命題>
Iを開区間とする。
連結な距離空間 R^2 から誘導される位相について、高々1個の正の実数εに対し、
高々2個のIの異なる有理点 a,b に対してそれぞれy-座標が a' ,b' が定まって得られるような、
連結距離空間 R^2 上のε-近傍 U_ε(a, a'), ε-近傍 U_ε(b, b') の各閉包を完全集合とする。
このとき、Iを定義域とし、任意のIの有理点で不連続、かつ任意のIの無理点で連続となる実関数 f(x) は存在しない。
<おわり>

いろいろ調べたが、
やはり、結局は(^^
「Iを定義域とし、任意のIの有理点で不連続、かつ任意のIの無理点で連続となる実関数 f(x) は存在しない」は、言えないように思うよ(^^

以上

158 132人目の素数さん 2017/12/16(土) 23:57:29 ID:
pdf を投下した者だが、結局スレ主は、
たった2ページの証明から逃げ回って反例モドキの探索に明け暮れた挙句に、
トンチンカンな論法で何かを結論したつもりになっているわけで、
呆れ返るばかりである。


>>155
>ここで、"Bf :={x ∈ R | lim sup y→x |(f(y) - f(x))/(y - x)|< +∞ }","R-Bf"において
>「< +∞」の解釈が問題となる

ここでの「 lim sup y→x |(f(y) - f(x))/(y - x)|< +∞ 」 とは、

「ある実数 R>0 が存在して lim sup y→x |(f(y) - f(x))/(y - x)| < R が成り立つ」

という意味。というか、それ以外の意味に解釈することは不可能。


>2."R-Bf"が、単純にリプシッツ”不”連続点ではなく、実質的に不連続点の集合と考えるならば、

R-Bf は「実質的に不連続点の集合」とは全然違う集合なので、
「2」以降のスレ主の考察は意味を成さず、例の定理の反例にもならない。

さっさと pdf の証明をキチンと読んで出直してこい。

159 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/16(土) 23:58:11 ID:
>>157 追加

むかしは、”メンター”さんなる導師みたいな人がいてね
おっちゃんの証明を、逐一添削して、赤ペン入れたんだがな~(^^

最近見かけないね
卒業していったんだろうね(^^

160 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/16(土) 23:58:59 ID:
>>158
どうも。スレ主です。
レスありがとう(^^
また、かんがえるわ

161 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/17(日) 00:02:16 ID:
>>158

良い機会だから、一つ質問して良いか?

"ここでの「 lim sup y→x |(f(y) - f(x))/(y - x)|< +∞ 」 とは、

「ある実数 R>0 が存在して lim sup y→x |(f(y) - f(x))/(y - x)| < R が成り立つ」

という意味。というか、それ以外の意味に解釈することは不可能。"

こういう解釈なら、
「ある実数 R>0 が存在して lim sup y→x |(f(y) - f(x))/(y - x)| < R が成り立つ」以外での孤立点は、考えられないのかね?

162 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/17(日) 00:03:49 ID:
そもそも
”R-Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば”だったろ?

163 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/17(日) 00:05:51 ID:
”「 lim sup y→x |(f(y) - f(x))/(y - x)|< +∞ 」 ”で、+∞は、極限を取らない?

164 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/17(日) 00:08:05 ID:
「ある実数 R>0 が存在して lim sup y→x |(f(y) - f(x))/(y - x)| < R が成り立つ」

という意味。というか、それ以外の意味に解釈することは不可能。"

なら、最初から、 lim sup y→x |(f(y) - f(x))/(y - x)| < R が成り立つ」と書かないのか?

165 132人目の素数さん 2017/12/17(日) 00:11:32 ID:
>>161
>「ある実数 R>0 が存在して lim sup y→x |(f(y) - f(x))/(y - x)| < R が成り立つ」以外での孤立点は、考えられないのかね?

質問が意味不明で答えられない。孤立点とは「集合」とセットで定義される概念であり、

「 点 x が集合 A の孤立点であるとは、x∈A が成り立ち、かつ、x∈O, O∩A=φ を満たす開集合 O が取れるときを言う」

…という定義によって「孤立点」というものが定義される。
従って、まずスレ主は「集合A」としてどのような集合を考えているのかを明記しなければ、
質問の体を成さない。

>>162
何が言いたいのか意味不明。だから何?

>>163
「α<+∞」という書き方は、「ある実数 R が存在して α<R が成り立つ」という文章の省略記法である。
あるいは、拡大実数の中での不等式として「α<+∞」というものを考えてもよい。この場合も、
「ある実数 R が存在して α<R が成り立つ」という意味になる。


>>164
そのような書き方も可能。次のように定義すればよい。

B_f:={ x∈R|ある C>0 が存在して limsup[y→x]|(f(y)-f(x))/(y-x)|<C が成り立つ }

しかし、次のような定義は意味が違ってしまうのでダメ。

・ 特定の C>0 に対して、B_f:={ x∈R| limsup[y→x]|(f(y)-f(x))/(y-x)|<C }

166 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/17(日) 07:48:44 ID:
>>165
どうも。スレ主です。
回答ありがとう

一晩考えたが、「その定理は正しいし、素晴らしいかも知れない」という考えに変わった(^^
”定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする.
Bf :={x ∈ R | lim sup y→x |(f(y) - f(x))/(y - x)|< +∞ }
と置く: もしR-Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、”(>>155より)

ここで、
1)Bf :={x ∈ R | lim sup y→x |(f(y) - f(x))/(y - x)|< +∞ }
かつ
2)R-Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる

の組み合わせだと、それは実は「不連続点」と言えそうかな
(∵Bf :={x ∈ R | lim sup y→x |(f(y) - f(x))/(y - x)|< K } でKはある有限値に留まる(通常のリプシッツ連続)とすると、
 ”R-Bf は内点を持たない閉集合では、被覆できない”(広がりを持つ)がおそらく言えて、「< +∞」の場合は結局それは通常の「不連続点」だと)

とすると、>>155に書いた通り、そのような「不連続点」が可算無限個、R中に稠密に分散されている場合、
>>110 の”THEOREM: Let g be continuous and discontinuous on sets of points that are each dense in the reals. g fails to satisfy a pointwise Lipschitz condition, a pointwise Holder condition, or even any specified pointwise modulus of continuity condition on a co-meager set.”
が適用できて、そういう場合は実は、非可算無限個必要かあるいは内点を持つので、排除されている。

で、一見、>>110 の”THEOREMの言い換え”みたいだが、使い易い形への言い換えは大事なのと、簡単な分り易い別証明もまた大事だ
>>110 の”THEOREM”みたいな大定理を適用出来るとするのも、これもまた大事だと思うが)

この定理が成り立たないと思って、ご無礼な物言いがあったかも知れないが、お詫びします m(_ _)m
あとは、”上記1)と2)の組み合わせだと、それは実は「不連続点」”が、確かかどうかだな。そこは、もう少し掘り下げて考えてみるよ

証明の成否? それは、おれよりもっと賢い人がコメントしてくれるだろう
おれみたいな、アホバカが「正しい」と言ったところで、それなんの保証にもならない

167 132人目の素数さん 2017/12/17(日) 09:27:15 ID:
ぷとスレ主の共通点
必要なことから逃げ回る

168 132人目の素数さん 2017/12/17(日) 09:35:20 ID:
今日は昼から用事があるので、少しだけ。

>>166
>の組み合わせだと、それは実は「不連続点」と言えそうかな

ぜんぜん言えない。f:R→R を

f(x)=xlog|x| (x≠0), 0 (x=0)

と定義すると、

B_f = { x∈R| limsup[y→x]|(f(y)-f(x))/(y-x)|<+∞} = R-{0}

が成り立つことが分かる。すなわち、R-B_f={0} が成り立つことが分かる。
{0} は内点を持たない閉集合であり、この集合は1個だから、
R-B_f は内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できている。
よって、スレ主の理屈だと、この f は x=0 で不連続でなければならないが、
実際には f は任意の点で連続である。

>で、一見、>>110 の”THEOREMの言い換え”みたいだが、使い易い形への言い換えは大事なのと、簡単な分り易い別証明もまた大事だ

言い換えではない。

169 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/17(日) 09:43:59 ID:
突然ですが
検索ヒットしたので貼る

http://izumi-math.jp/F_Wada/fixpoint_theorem.pdf
高校生のための不動点定理 和田 文興 北海道札幌国際情報高等学校 2006
 @Author Fumioki.Wada  @Version 1.00;17.Mar.2014
 第14回北海道高等学校数学コンテストの第5問に、「縮小写像の不動点定理」を題材にした問題を出題しました。問題の背景にあるこの定理の1次元の場合を、高校生の読み物としてプリントにしましたので紹介します。
十年くらい前に北海道算数数学教育会高等学校部会第59回大会で発表したものとは違った方法をとり、証明を工夫して高校生向けにしました。また,高校生が自習用としても学べるように、単に「定義」,「定理」、「証明」の羅列ではなく、例題や練習、問題も取り入れて、理解しやすいようにしたつもりです。

http://izumi-math.jp/F_Wada/F_Wada.html
和田 文興 北海道札幌国際情報高等学校

http://izumi-math.jp/contest/index_j.html
数学コンテスト

第14回北海道高等学校数学コンテスト
 平成8年1月12日(金)9時~12時30分 実施
 問題、解答、解説、採点を終えてを掲載。

http://izumi-math.jp/
北海道算数数学教育会
高等学校部会研究部
数学のいずみ

170 132人目の素数さん 2017/12/17(日) 09:48:47 ID:
成立しそうと思う理屈もトンチンカン、成立しなそうと思う理由もトンチンカン。
そんなふうに右往左往した挙句、未だに2ページの証明すら自分で読んでみようと思う気配なし。

「成り立つという目途が立たないうちは証明を読む気にならない」

とか言ってたやつが、いざ賛成側に傾いても結局は

>証明の成否? それは、おれよりもっと賢い人がコメントしてくれるだろう
>おれみたいな、アホバカが「正しい」と言ったところで、それなんの保証にもならない

この有様。しかも、既に指摘したように、成立しそうと思う理由もトンチンカン。

いかに上っ面だけで数学に触れてきたかがよく分かる。

コピペだけして表面的には意味を理解した気になって、その記述から推測される「意味」を
勝手に捏造して別の現象に当てはめようとするも、定理の本質的なところを理解したわけではないので、
推測した「意味」は的外れであり、それゆえに賛成・反対どちらに回っても、その理由は常にトンチンカン。
こいつこそがド素人ではないか。なんでこんなクズが数学板に常駐してるんだ。
そもそも、limsup[y→x]|(f(y)-f(x))/(y-x)| という基本的な対象ですらロクに扱えずに
「大いなる勇気を持って恐る恐る触っている」ような仕草が見られる時点で問題外。
いい加減に相手するのもバカらしくなってきたわ。

171 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/17(日) 09:59:45 ID:
>>168
なるほど、あなたは力があるね(^^

>>で、一見、>>110 の”THEOREMの言い換え”みたいだが、使い易い形への言い換えは大事なのと、簡単な分り易い別証明もまた大事だ
>言い換えではない。

もしそうだとすると、本当に素晴らしい定理だと思うが
逆に、本当?という疑念も強くなる

まあ、証明読む前に、定理の成立不成立をもっと考えてみるよ
証明を読むのは、そういう趣味の人がだれかやるでしょう

172 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/17(日) 10:01:27 ID:
>>170
悪いが、そういう話は、もともとプロ数学者相手にすべきだろ?
なんで、新定理だと思うなら、プロに相談しないの?

173 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/17(日) 10:04:44 ID:
回りを見渡して見ろよ
おれ以外にろくなコメントついてないだろ?
5CHなんて、所詮そういうところだよ

174 132人目の素数さん 2017/12/17(日) 10:05:21 ID:
 
>おれみたいな、アホバカが「正しい」と言ったところで、それなんの保証にもならない (>>166)
>まあ、証明読む前に、定理の成立不成立をもっと考えてみるよ (>>171)

俺が望んでいるのは「正しいという保証」ではない。俺が望んでいるのは、

「お前が証明を直接的に読んで理解すること(もしくは、明確な間違いを指摘すること)」

である。つまり、「スレ主が2ページの証明と直接的に向き合う」
という行為そのものを望んでいるのである。

・ 反例モドキの探索は俺が望んでいる行為ではない。正しいという保証が欲しいから、
 という理由ではなく、2ページの証明をスレ主が直接読むことを望んでいるから。

・ 賛成側に回るも結局証明は読まない、という行為は俺が望んでいる行為ではない。
 なぜなら、2ページの証明をスレ主が直接読むことを望んでいるから。

・ 何度も言っているが、そもそもの話として、たった2ページの証明から逃げ回るという
 行為そのものが理解不能。今までずっと言うのを控えてたけど、お前はこの程度の証明を読むのにも
「有名な数学者からの太鼓判」と「大いなる勇気・決断」が必要になるくらいに低レベルなクソザコなのかと。
 そんなクソザコが、他人の書き込んだ数学的発言について何かを言う権利があると思ってるのか?

・ というか、そんなに やる気のない奴がどうして数学に触ってるんだ?ド素人のゴッコ遊びか?

いい加減にしてくれよ低能め。

175 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/17(日) 10:08:12 ID:
まあ、証明読む前に、その新定理の正否をもっと考えてみるよ。その方が、面白いからね

176 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/17(日) 10:09:01 ID:
成立しないと思う定理の証明は読まないよ

177 132人目の素数さん 2017/12/17(日) 10:11:26 ID:
>>172
>悪いが、そういう話は、もともとプロ数学者相手にすべきだろ?
>なんで、新定理だと思うなら、プロに相談しないの?

また話が逆戻りしてる。

「俺が新定理を発見したと言っていて、その真偽をこのスレで問おうとしている」

という構図に持ち込もうとしても無駄。そういうことではないと何度も言っている。
俺は、自分の書いた定理が「新定理」だなんて一言も言ってない。
「既に発見済みだろう」とさえ言っている。お前もそのことは記憶にあるはずだ。

では何でこんな状況になってるのかというと、お前がイチャモンをつけてきたからだ。
イチャモンをつけてきた以上は、証明が投下されたらその証明を読むのが筋である。
お前はそれをしていない。ずっと逃げ回っている。全てはお前の言動に責任がある。

178 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/17(日) 10:11:58 ID:
まあ、そりゃー、プロ数学界の多数が「成立」と保証している定理の証明は別だ。だから、「読め読め」というなら、プロ数学者のお墨付きをどうぞ

179 132人目の素数さん 2017/12/17(日) 10:15:31 ID:
>>176
>成立しないと思う定理の証明は読まないよ

詭弁である。ついさっき一瞬だけ賛成側に回ったときも

>証明の成否? それは、おれよりもっと賢い人がコメントしてくれるだろう
>おれみたいな、アホバカが「正しい」と言ったところで、それなんの保証にもならない

この有様だったからだ。お前の言動からして、
仮に有名な数学者からのお墨付きがあったら、今度は

「ほぼ正しいことが明確になったので、わたくしスレ主が証明を読む必要は無くなった」

とでも言うのであろう。そもそも、「2ページの証明」という超手軽な分量の時点で、
その証明「を読まない」という理屈は全く通用しない。

180 132人目の素数さん 2017/12/17(日) 10:23:35 ID:
>>178
詭弁である。その理屈が通るのは、そもそもこの定理に何の興味もなくてスルーしたいときだけである。

「わたくしスレ主はその定理の成否に興味がないので、いきなり証明を持って来られても
 読む気になりません。どうしてもというならプロのお墨付きをどうぞ」

このような理屈なら、筋が通る。しかし、お前はそうではない。お前は

・ たった2ページの証明は読みたがらないが、反例モドキを探すことには興味がある

のである。つまり、定理の成否そのものには興味があるのである。ならば、
その定理の根拠が明確に書いてある「たった2ページの証明」を避け続けるのは
極めて不自然である(これは数学に限ったことではない)。

181 132人目の素数さん 2017/12/17(日) 10:35:50 ID:
>>173
> 回りを見渡して見ろよ
> おれ以外にろくなコメントついてないだろ?
> 5CHなんて、所詮そういうところだよ

ろくなコメントをしないのはお前だろ
他人を巻き込むな

182 132人目の素数さん 2017/12/17(日) 10:39:42 ID:
>>176
>成立しないと思う定理の証明は読まないよ
教科書すら読まない口が何をか言わんや

183 132人目の素数さん 2017/12/17(日) 10:47:27 ID:
俺は前スレで

> 623 132人目の素数さん sage 2017/12/13(水) 00:59:00.08 ID:5ixW3ELF
> 証明を読みました
> 正しいと思います

と発言した者だけど、あのpdfはεδさえ理解できれば誰でも読めるはず
そこまで書くか?っていうくらい丁寧に書かれてる
これを読めないのは本当にザコだと思うよ

184 132人目の素数さん 2017/12/17(日) 12:43:38 ID:
>>155
> ここで、"Bf :={x ∈ R | lim sup y→x |(f(y) - f(x))/(y - x)|< +∞ }","R-Bf"において
> 「< +∞」の解釈が問題となる

スレ主の糞レスを読んでたんだけど、ここでちょっと笑ってしまった
こんな常識的な記法に解釈もクソもないよ

185 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/17(日) 13:18:42 ID:
>>177
レベルの高い友達いないのか? (レベル低いのはだめだよ)
いれば、そいつに証明みてもらえよ(^^
なんか、あんたこの5CH数学板が唯一の数学の場に思えてくるね~

186 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/17(日) 13:19:36 ID:
>>179-180
>とでも言うのであろう。そもそも、「2ページの証明」という超手軽な分量の時点で、
>その証明「を読まない」という理屈は全く通用しない。

お断りだな
数学史を学べば、過去多くの天才と呼ばれる大数学者が正しいと、周囲も一度は認めた証明に、穴があったという事例は多い

つづく

187 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/17(日) 13:21:19 ID:
>>186 つづき

あんたが、>>168で示した、原点0で連続だがリプシッツ連続でないという例は面白いとおもうが
では、それが可算無限個で稠密に存在しえない理由はなんだ?

下記で、r=1のときトマエ関数として、すでに全ての無理数で連続は達成されている(>>34より。なお、下記抜粋ご参照)
”r = 2, f^r is nowhere differentiable and satisfies a pointwise Lipschitz condition on a set that is dense in the reals.”

しかし、”g fails to satisfy a pointwise Lipschitz condition, a pointwise Holder condition, or even any specified pointwise modulus of continuity condition on a co-meager set.”だと(>>110)。
だが、これの成立条件は、”g be continuous and discontinuous on sets of points that are each dense in the reals.”(>>110)であって、リプシッツ連続とリプシッツ”不”連続ではないよ

リプシッツ連続とリプシッツ”不”連続でも、”g fails to satisfy a pointwise Lipschitz condition, on a co-meager set.”(ここでco-meager setは非可算濃度)
が言える? なぜ言える?

あなたは「おれは証明したんだ!」というけれど
私スレ主が言っているのは、クロスチェックという手法でね、別の視点からそれを検証しようということ。クロスチェックに耐えてこそ本物だよ

つづく

188 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/17(日) 13:21:46 ID:
>>187 つづき

>>35より)
http://mathforum.org/kb/message.jspa?messageID=5432910
Topic: Differentiability of the Ruler Function Dave L. Renfro Posted: Dec 13, 2006 Replies: 3 Last Post: Jan 10, 2007
(抜粋)
The ruler function f is defined by f(x) = 0 if x is
irrational, f(0) = 1, and f(x) = 1/q^r if x = p/q
where p and q are relatively prime integers with q > 0.

で、指数rで、関数の特性が類別されているだろ(下記)
で、(抜粋)
1)** For each 0 < r < 2, f^r satisfies no pointwise Lipschitz condition. Heuer [15]

2)** For r = 2, f^r is nowhere differentiable and satisfies a pointwise Lipschitz condition on a set that is dense in the reals. Heuer [15]

3)** For r > 2, f^r is differentiable on a set whose intersection with every open interval has Hausdorff dimension 1 - 2/r. Frantz [20]
(引用終り)

以上

189 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/17(日) 13:22:22 ID:
>>181 >>183 & >>184
じゃ、上記>>186 に答えてくれ

(引用)
>>168で示した、原点0で連続だがリプシッツ連続でないという例は面白いとおもうが
では、それが可算無限個で稠密に存在しえない理由はなんだ?

下記で、r=1のときトマエ関数として、すでに全ての無理数で連続は達成されている(>>34より。なお、下記抜粋ご参照)
”r = 2, f^r is nowhere differentiable and satisfies a pointwise Lipschitz condition on a set that is dense in the reals.”

しかし、”g fails to satisfy a pointwise Lipschitz condition, a pointwise Holder condition, or even any specified pointwise modulus of continuity condition on a co-meager set.”だと(>>110)。
だが、これの成立条件は、”g be continuous and discontinuous on sets of points that are each dense in the reals.”(>>110)であって、リプシッツ連続とリプシッツ”不”連続ではないよ

リプシッツ連続とリプシッツ”不”連続でも、”g fails to satisfy a pointwise Lipschitz condition, on a co-meager set.”(ここでco-meager setは非可算濃度)
が言える? なぜ言える?

「証明がある」というけれど
私スレ主が言っているのは、クロスチェックという手法でね、別の視点からそれを検証しようということ。クロスチェックに耐えてこそ本物だよ”
(引用終り)

190 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/17(日) 13:36:46 ID:
>>177 補足

>「俺が新定理を発見したと言っていて、その真偽をこのスレで問おうとしている」
>という構図に持ち込もうとしても無駄。そういうことではないと何度も言っている。
>俺は、自分の書いた定理が「新定理」だなんて一言も言ってない。

補足しておく
1.このスレに、見慣れぬ定理とその証明が投下された
2.では、この定理が、既存の教科書(テキスト)なり、論文にあるのかどうか?
3.その見極めは、可能な限り必須だと思うよ
4.なぜなら、その見極めなしには、人にも話ができないでしょ?
5.新定理なら、それなりの話をしないといけないし
6.逆に、既存の教科書(テキスト)なり、論文にあるなら、「ここにすでに記載されている定理だが」と
 (何かに引用するときも、” 5CH(422 に書かれた定理)”ではお笑いだろう)
7.さらに言えば、投下された当該の定理が、既存の関数論なりリプシッツ連続の理論のどこに位置付けられるのか?
  例えば、類似の定理の有無など。
  そこは大事なことじゃないかな?
 (まあ、普通は、その過程で、投下された定理の正否が、ほぼ確定してくると思うよ)

191 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/17(日) 13:41:55 ID:
>>189 訂正スマン(^^

じゃ、上記>>186 に答えてくれ

じゃ、上記>>187 に答えてくれ

192 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/17(日) 13:46:03 ID:
>>183
>これを読めないのは本当にザコだと思うよ

ありがとう(^^

「スレ主はザコだ。その定理は正しい」という人が、沢山でてきてくれると、
私の疑問点(>>187)も解消できて、嬉しいね(^^

193 132人目の素数さん 2017/12/17(日) 13:52:27 ID:
「反例もどき」は無限個存在する
そんなものをいちいち相手にしてたら日が暮れる
スレ主は数学板から出てけよ
実力不足も甚だしい

194 132人目の素数さん 2017/12/17(日) 14:01:31 ID:
すまないが、まずスレ主はもっと勉強してから、
書き込んでくれないだろうか?

他の住民とのレベルとの実力に大きなギャップ
を感じる。わざわざ下のレベルに合わせるという点
が無駄に感じることがよくある。

195 132人目の素数さん 2017/12/17(日) 14:03:28 ID:
>>185
>レベルの高い友達いないのか? (レベル低いのはだめだよ)
>いれば、そいつに証明みてもらえよ(^^
スレ主は国語力が壊滅的
スレ主がイチャモン付けさえしなければ済む話に対して、全く的外れな発言をしている
だから言ってるだろ? スレ主は国語と道徳からやり直せ、数学など20年早いと

196 132人目の素数さん 2017/12/17(日) 14:08:15 ID:
>他の住民とのレベルとの実力に大きなギャップを感じる。
そりゃそうでしょう
スレ主は大学一年一学期の内容についていけない学力ですから

197 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/17(日) 15:46:23 ID:
他スレからだが
Inter-universal geometry と ABC予想 21
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1509378059/588 関連

https://plaza.rakuten.co.jp/shinichi0329/diary/201705060001/
ドラマ「逃げ恥」の感想:社会の貧困と「視野狭窄」新一の「心の一票」 2017.05.06
(抜粋)
昨年秋、放送されていた当時、(恥ずかしながら(?)、私も含め)皆あんなに「熱狂的に」盛り上がっていたのに、いつの間にか忘れ去られ掛けている感のある、ドラマ「逃げ恥」。
以前(=2017-01-04付けの記事)から予告している通り、このドラマの感想について(本当は感想の「テーマ」が多すぎるので)少しずつ整理しながら書きたいと思います。

今の時代の日本の社会を見渡すと、みんな「身を粉にして」せっせと働いているのに、全体的に余り豊かさを実感できない状況の下で生活している、というような趣旨の「暗い」報道(=「ブラック企業」や過労死から結婚・出生率の低下、待機児童の問題、子供の貧困、若者の就職難等)が非常に多いように感じます。
一方、そのような「俯瞰的な」、「マクロ」の視点ではなく、個人個人の「ミクロ」のレベルで社会(=特に自分の普段の生活の中で接する人間)を観察していると、(場合によっては)逆にこの国の人的資源の豊かさに寧ろ感動するような場面がしばしばあるのは私だけではないのではないでしょうか。
そうすると、この「マクロ対ミクロ」の落差は一体どのような原因によってこれほども激しい形で発生してしまうのだろうか、解明したくなります。

この「マクロ対ミクロ落差」はドラマ「逃げ恥」の主要なテーマの一つだったように思います。
大学院卒でありながら就職活動が上手くいかない、しかし様々な面においては本当は眩しい位の優れた「人的資源」ともいえる森山みくり(新垣結衣)がある意味、この「マクロ対ミクロ落差」の「代表格」・「リーダー格」ではないでしょうか。
実際、みくりの数々の妄想シーンの中でも何度か登場するみくりの「政治演説」のようなものも、みくりという登場人物に託されたこのような「指導的な」役割を物語っているように感じます。

つづく

198 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/17(日) 15:46:48 ID:
>>197 つづき

個人名や他の詳細を書くと問題視されるでしょうから差し控えますが、私は学生に対する評価の際においても、若手研究者の就職・採用に関わる評価の際においても、一般的な基準と大きく異なる基準を適用することによって、一般的な基準では

  「間違いなく不適格=数学界にとっては
   事実上、ゴミ」

に等しい烙印を押された人材を拾い上げて育成し、最終的には、

  実態からして一般的な基準よりも遥かに
  実質的な基準において立派な水準の人材
  に育て上げる

ことを何度も経験しており、その人材の目覚ましい成長ぶりに度々感動を覚えさせられたことだけは書かせていただきます。
(引用終り)

199 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/17(日) 15:49:16 ID:
>>193-196
雑談スレに相応しカキコだな
数学レベルがよく分るよ
ありがとう(^^

200 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/17(日) 15:51:40 ID:
>>193-196
繰返す
じゃ、上記>>187 に答えてくれ(^^

(引用)
>>168で示した、原点0で連続だがリプシッツ連続でないという例は面白いとおもうが
では、それが可算無限個で稠密に存在しえない理由はなんだ?

下記で、r=1のときトマエ関数として、すでに全ての無理数で連続は達成されている(>>34より。なお、下記抜粋ご参照)
”r = 2, f^r is nowhere differentiable and satisfies a pointwise Lipschitz condition on a set that is dense in the reals.”

しかし、”g fails to satisfy a pointwise Lipschitz condition, a pointwise Holder condition, or even any specified pointwise modulus of continuity condition on a co-meager set.”だと(>>110)。
だが、これの成立条件は、”g be continuous and discontinuous on sets of points that are each dense in the reals.”(>>110)であって、リプシッツ連続とリプシッツ”不”連続ではないよ

リプシッツ連続とリプシッツ”不”連続でも、”g fails to satisfy a pointwise Lipschitz condition, on a co-meager set.”(ここでco-meager setは非可算濃度)
が言える? なぜ言える?

「証明がある」というけれど
私スレ主が言っているのは、クロスチェックという手法でね、別の視点からそれを検証しようということ。クロスチェックに耐えてこそ本物だよ”
(引用終り)

201 132人目の素数さん 2017/12/17(日) 16:14:14 ID:
>>200
頭オカシイだろお前

>>168
「R-B_fでfが不連続」
というお前の馬鹿発言に対する反例だろうが

それに対して>>187じゃまったく会話になってないだろ

202 132人目の素数さん 2017/12/17(日) 16:49:28 ID:
>>187
> しかし、”g fails to satisfy a pointwise Lipschitz condition, a pointwise Holder condition, or even any specified pointwise modulus of continuity condition on a co-meager set.”だと(>>110)。
> だが、これの成立条件は、”g be continuous and discontinuous on sets of points that are each dense in the reals.”(>>110)であって、リプシッツ連続とリプシッツ”不”連続ではないよ

仮定も結論も違う別の命題を持ってきて何を主張したいんだね君は。

203 132人目の素数さん 2017/12/17(日) 17:11:42 ID:
スレ主 国語 国語

204 132人目の素数さん 2017/12/17(日) 17:59:08 ID:
>>190
> 1.このスレに、見慣れぬ定理とその証明が投下された
> 2.では、この定理が、既存の教科書(テキスト)なり、論文にあるのかどうか?
> 3.その見極めは、可能な限り必須だと思うよ
> 4.なぜなら、その見極めなしには、人にも話ができないでしょ?
> 5.新定理なら、それなりの話をしないといけないし
> 6.逆に、既存の教科書(テキスト)なり、論文にあるなら、「ここにすでに記載されている定理だが」と
>  (何かに引用するときも、” 5CH(422 に書かれた定理)”ではお笑いだろう)
> 7.さらに言えば、投下された当該の定理が、既存の関数論なりリプシッツ連続の理論のどこに位置付けられるのか?
>   例えば、類似の定理の有無など。
>   そこは大事なことじゃないかな?
>  (まあ、普通は、その過程で、投下された定理の正否が、ほぼ確定してくると思うよ)

新定理か旧定理か、見慣れているか否か、類似の定理があるかどうか、なんてスレ主以外誰も話題にしていない。
証明を読まない一方で、仮定も結論も違う命題をいつまでもゴニョゴニョいじり、反例もどきを提示しては論破され、の繰り返し。
もう一度言うが、証明がUPされているのだから、それをただ読めばいいのである。
ある命題について他人と話をするのにイチイチすべての教科書や論文をあたる必要はない。
その証明があれば成否を議論できるのであり、その証明はすでにUPされたのだから、それを読めば済むのである。

わざわざお前向けにアホでも分かる丁寧さで書かれたにもかかわらず、
それを読まずに成否に難癖ばかりつけている態度は非誠実極まりない。

『これは反例?あれは矛盾?』という問いかけはお前が証明を理解しないまま難癖をつけようとするかぎりいつまでも終わらない。
反例があるというならきっちりそれを証明してから語れ。>>187のようなくだらない質問で周りを煽るなバカタレ。

205 132人目の素数さん 2017/12/17(日) 18:15:12 ID:
>証明を読まない一方で、仮定も結論も違う命題をいつまでもゴニョゴニョいじり、反例もどきを提示しては論破され、の繰り返し。
時枝記事に対してと全く同じでわろた

206 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/17(日) 19:08:53 ID:
>>201-205
笑える
みんな、逃げ口上と言い訳は、上手いね

要は
1.もし、>>168が正しいなら、1点のリプシッツ”不”連続点となる関数は存在して、当然、”ある区間(a, b) 上でリプシッツ連続である”は言える。
2.有限個のリプシッツ”不”連続点となる関数も存在して、これまた、”ある区間(a, b) 上でリプシッツ連続である”は言える。
3.そして、非可算無限個のリプシッツ”不”連続点で、実数直線R中にそれが稠密に分散している関数は存在して、これは>>110-113に記されている。
  この場合”ある区間(a, b) 上でリプシッツ連続である”は言えない。∵リプシッツ”不”連続点が、稠密に分散しているから
  但し、「非可算無限個のリプシッツ”不”連続点」だから、>>155の”定理1.7 (422 に書いた定理)”の条件「内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる」に合わないので、存在しても反例にはならない。

4.では、可算無限個のリプシッツ”不”連続点で、実数直線R中にそれが稠密に分散している関数は存在しえるのか?
  もし、存在し得るなら、”定理1.7 (422 に書いた定理)”の反例となるが、
  ”定理1.7 (422 に書いた定理)”が、正しいとすると、”可算無限個のリプシッツ”不”連続点で、実数直線R中にそれが稠密に分散している関数は存在しえない”となる
5.問題は、なぜ、”可算無限個のリプシッツ”不”連続点で、実数直線R中にそれが稠密に分散している関数は存在しえない”のか?
  非可算無限個で稠密なら可能なのに。有限個でも可能なのに。
  その中間たる”可算無限個”では、なぜ存在しえないのか?

ということ。
だれか、教えて(^^

207 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/17(日) 19:10:08 ID:
>>183
そうそう、ID:mDHP3omSさんは、数学科生と見た
まだ、来週は大学行くんだろ?

大学の先輩か(4年以上で、リプシッツ連続に詳しい人)、教官に聞いて貰えないかな?
上記>>206 の質問と、それに”定理1.7”の成否について

よろしくね

208 132人目の素数さん 2017/12/17(日) 19:18:12 ID:
厚かましさは一流だなw
国語の勉強は進んでるか?w

209 132人目の素数さん 2017/12/17(日) 19:24:36 ID:
>>206
何もかも言ってることが無茶苦茶過ぎる

> 4.では、可算無限個のリプシッツ”不”連続点で、実数直線R中にそれが稠密に分散している関数は存在しえるのか?
>   もし、存在し得るなら、”定理1.7 (422 に書いた定理)”の反例となるが、

定理1.7の読み違い

210 132人目の素数さん 2017/12/17(日) 19:37:25 ID:
リプシッツ”不”連続点なる用語はR-B_fを指しているわけね。
>>209の後段は取り消す。

でもそうなると、なぜ存在しえないのか?に対しては証明を読めば分かるだろ、という答えになるわけだが。

211 132人目の素数さん 2017/12/17(日) 20:11:44 ID:
午後からの用事が終わったので復帰。

>>206
スレ主にしてはきちんと状況判断が出来ていて悪くない問い方である。
ただし、その問いに関する答えはハッキリしている。

>5.問題は、なぜ、”可算無限個のリプシッツ”不”連続点で、実数直線R中にそれが稠密に分散している関数は存在しえない”のか?

なぜ存在し得ないかというと、例の定理が成り立つからだ。なぜ例の定理が成り立つかというと、
その証明は既にアップしてある。全部で5ページだが、実質的には2ページ足らずの証明である。
スレ主が頑なに拒否してるだけ。全てスレ主の自業自得。


>非可算無限個で稠密なら可能なのに。有限個でも可能なのに。
>その中間たる”可算無限個”では、なぜ存在しえないのか?

可算・非可算で分類するのは筋違い。例の定理の証明にはベールのカテゴリ定理を使うのだから、
「第一類集合」「第二類集合」で分けた方が見やすい。
集合Aが第一類集合であるとは、Aが内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるときを言う
(これと僅かに異なる定義も存在するが、ここでは本質的な違いではない)。
また、集合Aが第二類集合であるとは、Aが第一類でないときを言う。

・ 有限集合は常に第一類集合である。
・ 可算無限集合も常に第一類集合である。
・ 非可算無限集合は、第一類になったり第二類になったりする。

また、例の定理が言っているのは、
「 R-B_f が第一類集合ならば、f はある開区間の上でリプシッツ連続である」ということ。

[続く]

212 132人目の素数さん 2017/12/17(日) 20:17:15 ID:
[続き]

以下、件の関数の存在の有無を、「稠密版」と「そうでない版」で条件を場合分けして見ていく。

稠密版
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
「R上に稠密に分布する非可算無限個の点でのみリプシッツ不連続」は可能であるが、非可算無限集合は
第二類集合になり得るので、例の定理の適用範囲外になり、そういう例が実在しても おかしくない。

「R上に稠密に分布する可算無限個の点でのみリプシッツ不連続」は不可能であるが、可算無限集合は
常に第一類集合だから、例の定理が適用でき、それゆえに不可能である。

「R上に稠密に分布する有限個の点でのみリプシッツ不連続」も実は不可能である。なぜなら、
有限個の点はそもそもR上で稠密に分布できないから。

★ 従って、稠密版では、「非可算無限集合」のみが "可能になり得る" のであり、
可算無限以下では常に不可能となり、実はキレイに条件が分かれる。
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――


稠密という条件を取り除いた版
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
「単に非可算無限個の点でのみリプシッツ不連続」は可能である。なぜなら、
「稠密に分布する」という強い条件の時点で既に存在するからだ。

「単に可算無限個の点でのみリプシッツ不連続」は可能である。なぜなら、
たとえば「整数点」でのみリプシッツ不連続であるようにすればいいからだ
(そのような関数は明らかに構成できる)。

「単に有限個の点でのみリプシッツ不連続」は可能である。
実際、1点でのみリプシッツ不連続な例を既に挙げてある。

★ 従って、稠密という条件を取り除いた版では、可算・非可算に限らず "可能になり得る" 。
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――

[続く]

213 132人目の素数さん 2017/12/17(日) 20:23:25 ID:
[続き]

以上の準備のもとで、スレ主が言うところの

「なぜ非可算個と有限個は可能なのに可算無限だけはダメなのか」

という問いに答えると、それは次のようになる。

「スレ主は、稠密版とそうでない版をごっちゃにして考えているのがおかしい。
 稠密版に統一すると、非可算無限のみが可能になり得て、可算無限以下は不可能なので、
 実はキレイに条件が分かれている。また、稠密という条件が無い版に統一すると、
 可算・非可算に関わらず常に可能なので、これまたキレイに条件が整っている。」

「さらに、稠密版に統一した場合に、可算無限以下で不可能になる理由は、例の定理が適用できるから。
 あとは例の2ページの証明を読めば全て解決する。さっさと読めや」

214 132人目の素数さん 2017/12/17(日) 20:32:11 ID:
[補足]

スレ主が言うところの

「なぜ非可算個と有限個は可能なのに可算無限だけはダメなのか」

という問い方は、

「可算無限だけがダメというのは不自然なので、例の定理は間違っている公算が高い」

という目論見で書いた問いであると思われる。
しかし、既に書いたように、スレ主は稠密版とそうでない版をごっちゃにして考えているのがおかしいのであり、
稠密版に統一すればキレイに条件が分かれるし、稠密という条件が無い版に統一してもキレイに条件が整っている。
この時点で、スレ主の目論見は的外れということになり、スレ主は振り出しに戻ることになる。

馬鹿の考え休むに似たり。

さっさと2ページの証明を読めばいいのに、いつまでこんな不毛な考察を続けるつもりなんだろうな。

215 132人目の素数さん 2017/12/17(日) 20:41:05 ID:
>>214
> さっさと2ページの証明を読めばいいのに、いつまでこんな不毛な考察を続けるつもりなんだろうな。

スレを伸ばせば彼の勝ち、なのかもしれないが・・・
いずれにせよ不毛だ

216 132人目の素数さん 2017/12/17(日) 21:31:11 ID:
よかったなあスレ主
お前がどうバカなのか手取り足取り教えてくれる人がいて
感謝しないと罰が当たるぞ?

217 132人目の素数さん 2017/12/17(日) 22:09:31 ID:
スレ主の論理不透明な文章をあそこまで読み解ける明晰さはすごい

218 132人目の素数さん 2017/12/17(日) 22:49:36 ID:
明晰さもさることながら根気強さに敬服する

219 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/18(月) 07:55:56 ID:
>>208-218
オハヨー、朝です。
(^o^)
みなさん、ご苦労さん(^^

220 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/18(月) 08:00:38 ID:
>>206
自己解決しました

1.(>>97より)
”定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする.
Bf :={x ∈ R | lim sup y→x |(f(y) - f(x))/(y - x)|< +∞ }
と置く: もしR-Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、 f はある開区間の
上でリプシッツ連続である.
(以下証明の文言から)
よって、 f は(a, b) 上でリプシッツ連続である.”
2.さて、結論から言えば、”R-Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる”がおかしいと思う
3.それを説明するために、まず階段函数を考える
  x<0でf(x)=0, 0=<xでf(x)=1である階段函数で、X=0で不連続で不連続点は0で、不連続点は1点であり、”内点を持たない閉集合被覆できる”
  一方、X=0を、リプシッツ連続という視点でみると、X=0を挟んで左右平等なので、x<0から見てもリプシッツ”不”連続
4.次に、x<0でf(x)=0、x=0でf(x)=1、0<xでf(x)=0 という函数を考える。
  (これは、いま問題にしている変形トマエ関数の不連続点の簡単なモデルでもある)
  階段函数同様、X=0で不連続で不連続点は0で、不連続点は1点であり、”内点を持たない閉集合被覆できる”
  しかし、上記3と同様の議論で、X=0を挟んで左右平等なので、x<0と0<xと、双方から見てもリプシッツ”不”連続
  (この場合、x<0から見たときは正勾配で、0<xから見たときは負勾配で、リプシッツ”不”連続になる)
  この場合、リプシッツ”不”連続点は、内点を持たない閉集合では、被覆できないことは明らか(X=0なる内点を持つべし)
5.このような、広がりを持たないけれども、内点を持つ集合の例として、カントール集合がある
  https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AB%E3%83%B3%E3%83%88%E3%83%BC%E3%83%AB%E9%9B%86%E5%90%88 カントール集合
  (カントール集合は、ルベーグ測度は 0 でありながら、濃度は実数に等しい集合(連続体濃度の非可算集合)として有名な例である[18]。)

つづく

221 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/18(月) 08:03:15 ID:
>>220 つづき

6.それで、リプシッツ”不”連続点が、カントール集合のような、内点を持つ集合(開集合か閉集合かを問わず)で、かつルベーグ測度は 0 なる集合で被覆できる点であるとするならば、”R-Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる”とした仮定の置き方がおかしい
7.もっと言えば、上記の定理でいうリプシッツ”不”連続点は、必ず内点を持つなら、仮定の”内点を持たない閉集合被覆できる”が言えなくなる
  その場合、論理的には真(仮定が成り立たないときの命題は常に真)だが、現実の函数(変形トマエ関数のような)については、なにも語っていないことになる

以上

222 132人目の素数さん 2017/12/18(月) 11:58:56 ID:
>>220
おっちゃんです。
>1.(>>97より)
>”定理1.7 (422 に書いた定理)
>f : R → R とする.
>Bf :={x ∈ R | lim sup y→x |(f(y) - f(x))/(y - x)|< +∞ }
>と置く: もしR-Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、 f はある開区間の
>上でリプシッツ連続である.
>(以下証明の文言から)
>よって、 f は(a, b) 上でリプシッツ連続である.”
>2.さて、結論から言えば、”R-Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる”がおかしいと思う
私はここに投下された pdf を読んでいないので何ともいえず、スレ主はその pdf の内容について
いっているのだろうが、2の「""」の中の文は仮定だから問題ない(であろう)。

223 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/18(月) 15:17:20 ID:
>>222
おっちゃん、どうも、スレ主です。
レスありがとう(^^

224 132人目の素数さん 2017/12/18(月) 16:06:30 ID:
>>220
ぜんぜん自己解決してない。論理が滅茶苦茶。
おそらくスレ主は、「内点」がどういう概念なのか全く理解していない。
なので、先に「内点」の定義から始める。位相空間で定義するのが一般的だが、
スレ主のレベルの低さに合わせて、距離空間でのみ定義する。

定義:(開球の定義)
(X, d) を距離空間とする。x∈X を中心とする半径 r の開球を B_r(x) と書くことにする。
すなわち、B_r(x):={ y∈X|d(x,y)<r } である。

定義:(内点の定義)
(X, d) を距離空間とする。A⊂X とする。点 x∈A が集合 A の内点であるとは、B_r(x)⊂A なる r>0 が
存在するときを言う。特に X=R の場合を考えると、集合 A⊂R と x∈A について、

「点 x∈A が集合 A の内点であるのは、x∈(a,b)⊂A なる開区間 (a,b) が存在するとき、かつそのときに限る」

ことが確認できる(距離空間に関する初等的な演習問題である)。

補足:
上記の定義により、「内点」という概念は集合 A とセットで定義される概念であることが分かる。
つまり、集合 A を指定せずに「内点」とだけ書いても意味が定まらない。
必ず、「集合 A の内点」という形で、集合 A とセットで用いられる。
従って、同一の点 x が、ある集合 A においては内点になり、別の集合 B においては内点にならないという事態が
容易に起こる。たとえば、点 0 ∈ R は集合 { y∈R|-1<y<1 } の内点であるが、しかし集合 {0} の内点ではない。

225 132人目の素数さん 2017/12/18(月) 16:08:33 ID:
以上の準備のもとで、>>220-221 の間違いを指摘する。
どの間違いも、「内点」に対する勘違いが原因であると思われる。

>>220
>5.このような、広がりを持たないけれども、内点を持つ集合の例として、カントール集合がある
>(カントール集合は、ルベーグ測度は 0 でありながら、濃度は実数に等しい集合(連続体濃度の非可算集合)として有名な例である[18]。)

大間違い。カントール集合は内点を持たない。以下、カントール集合のことを S と書くことにする。
もし S が内点を持つなら、S の内点の1つを x とすれば、x∈(a,b) ⊂ S なる a,b が取れるので、
S のルベーグ測度は少なくとも (b-a) 以上となり、S の測度が 0 という事実に矛盾してしまう。
よって、S は内点を持たない。

>>221
>6.それで、リプシッツ”不”連続点が、カントール集合のような、内点を持つ集合(開集合か閉集合かを問わず)で、
>かつルベーグ測度は 0 なる集合で被覆できる点であるとするなら

大間違い。「内点を持つ集合で、かつルベーグ測度は 0 なる集合」は存在しない。理由は上と同じ。

[続く]

226 132人目の素数さん 2017/12/18(月) 16:10:43 ID:
[続き]

>>220
>4.次に、x<0でf(x)=0、x=0でf(x)=1、0<xでf(x)=0 という函数を考える。
>(中略)
>この場合、リプシッツ”不”連続点は、内点を持たない閉集合では、被覆できないことは明らか(X=0なる内点を持つべし)

「X=0なる内点を持つべし」という書き方では、意味が定まらない。
x=0 がどんな集合において内点になるのかを、スレ主は明確に書いていない。
おそらくは、R-Bf という集合の内点を考えているのだろうが、今回の f の場合、R-Bf = {0} となるので、

「 x=0 は集合 R-Bf の内点ではない 」

ということが分かり、「X=0なる内点を持つべし」というスレ主の発言は間違っていることになる。

[続く]

227 132人目の素数さん 2017/12/18(月) 16:13:10 ID:
[続き]

さらに、「X=0なる内点を持つべし」の理由も滅茶苦茶である。

>しかし、上記3と同様の議論で、X=0を挟んで左右平等なので、x<0と0<xと、双方から見てもリプシッツ”不”連続
>(この場合、x<0から見たときは正勾配で、0<xから見たときは負勾配で、リプシッツ”不”連続になる)
>この場合、リプシッツ”不”連続点は、内点を持たない閉集合では、被覆できないことは明らか(X=0なる内点を持つべし)

これがスレ主の挙げた理由である。どうやら、「 x<0 と x>0 の双方から見てもリプシッツ不連続 」ということから、
「X=0なる内点を持つべし」ということを結論しているようだが、論理的には何も繋がっておらず、
なぜそれで「X=0なる内点を持つべし」が結論されるのか全く不明である。
また、スレ主が一体どういう勘違いをしているのかも不明である。俺が推測するに、おそらくスレ主は

「 x=0 を含む十分小さな開区間 (-ε, ε) における f の勾配を観察するうちに、いつの間にか (-ε, ε) が
 主体になってしまい、x=0 は (-ε, ε) の内点であると主張するようになってしまった」

のだと推測される。もちろん、x=0 は (-ε, ε) の内点である。しかし、x=0 は R-Bf の内点では無い。
なぜなら、R-Bf = {0} だからだ。まとめると、スレ主は

「 x=0 は (-ε, ε) の内点である」

という、R-Bf の内点とは無関係の主張をした上で、「そもそも どんな集合の内点を考えていたのか」を
全く意識しなかったがゆえに、(-ε, ε) と R-Bf を混同してしまい、

「 x=0 は R-Bf の内点である」

という間違った結論に達したのだと推測する。当たらずといえども遠からず、といったところだろう。

[続く]

228 132人目の素数さん 2017/12/18(月) 16:17:04 ID:
[続き]

>>221
>”R-Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる”とした仮定の置き方がおかしい

この発言もまた、「内点」に対する不勉強が原因の間違いであると推測されるが、
「内点」を抜きにして考えても、実は間違った発言になっている。

・ R-Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆「できない」場合は、そもそも例の定理の適用範囲外。
・ R-Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆「できる」場合は、例の定理が適用できる。
・ R-Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆「できる」ような具体例は、既に挙げてある。

従って、「 R-Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる」という条件には何の不備も無いのである。

>7.もっと言えば、上記の定理でいうリプシッツ”不”連続点は、必ず内点を持つなら、仮定の”内点を持たない閉集合被覆できる”が言えなくなる
>その場合、論理的には真(仮定が成り立たないときの命題は常に真)だが、現実の函数(変形トマエ関数のような)については、なにも語っていないことになる

何も語ってないのはスレ主である。スレ主がここで言っているのは、

「例の定理の適用範囲外となる条件を考えれば、例の定理は適用できない」

という下らない主張である。この下らない主張そのものは論理的には正しいが、
しかし例の定理について何も言ってない。
そもそも、スレ主は「内点」という概念を勘違いして使っているので、
言っていることが最初から滅茶苦茶である。

総合すると、結局今回も、「馬鹿の考え休むに似たり」といったところ。

229 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/18(月) 17:20:18 ID:
>>228
どうもスレ主です。
ご丁寧なレスありがとう(^^

考えてみるよ
しかし、あなたの証明に完全賛同する人は、ただ一人かい?

230 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/18(月) 17:21:27 ID:
なんで、だれも類似のことを証明していなかったんだろうね? プロ数学者たち?

231 132人目の素数さん 2017/12/18(月) 17:49:50 ID:
>>229
たくさんいると思いますよ

232 132人目の素数さん 2017/12/18(月) 18:04:50 ID:
>>229-230
>しかし、あなたの証明に完全賛同する人は、ただ一人かい?
>なんで、だれも類似のことを証明していなかったんだろうね? プロ数学者たち?

詭弁である。
お前が「プロ数学者」を持ち出す以上、このスレで何人の賛同者が出ても、
お前の口からは同じセリフが出るであろう。つまり、賛同者がたくさんいた場合には、

「このスレでは賛同者がたくさんいるようだが、
 プロ数学者が誰も発見してなかったのはなぜだろうね?」

という書き方をするに決まっているのである。そして、お前は もはや

「プロ数学者が見つけてないから間違ってるに決まっている」

という、正真正銘のイチャモンをつけるしか能が無くなったようである。
「馬鹿の考え休むに似たり」とは言ったが、もはや考えることすらやめて、
単なる馬鹿に成り下がったらしい。

ちなみに、我々が文献を発見できてないだけで、絶対に同じ発見が既に成されていると俺は推測する。
誰かの名前がついた定理の形には なってないのかもしれないが、どこぞの大学の講義の演習問題に
全く同じ問題が載ってるとか、そんなレベルでもいいから、とにかく発見済みのはずである。

なんたって、straddle lemma の真似をしたあとでベールのカテゴリ定理に繋げるだけの、
超簡単な証明なんだからな。お前は未だにその2ページの証明から逃げ回ってるがw

233 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/18(月) 19:09:07 ID:
いや、いま職場からだから、簡単にな
単純に、不思議だなと

わずかな分量の超簡単な証明だという

では、なぜ賛同者が一人?
なぜ、過去にその定理と証明が無かったのか?

234 BLACKXスマホ ◆jPpg5.obl6 2017/12/18(月) 19:09:38 ID:
どうしてそんなに数日に渡る問題になるか?
と思って私も読んでみたけど兼ね問題なく理解できた。
変形切断幕いわゆるポップコーン関数でも成り立つと考えられるからこれは面白い
fを取らない方法で自分の課題も纏められるかもと考えれた

235 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/18(月) 19:10:04 ID:
そのなぞが解けない限り、うっかり乗せられたら、ビックカメラかも知れないと思っているよ

236 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/18(月) 19:12:00 ID:
>>234
BLACKXスマホ ◆jPpg5.obl6さん、どうもスレ主です。
良かったら、証明よんであげて
そして、レスしてあげてください(^^

237 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/18(月) 19:13:21 ID:
>>235 訂正

ビックカメラ
 ↓
ビックリカメラ
(^^

238 132人目の素数さん 2017/12/18(月) 19:27:35 ID:
>>233
>なぜ、過去にその定理と証明が無かったのか?

我々が文献を発見できてないだけで、絶対に同じ発見が
既に成されていると俺は推測する、と何度も述べている。

>>235
>そのなぞが解けない限り、うっかり乗せられたら、ビックカメラかも知れないと思っているよ

詭弁である。お前が言うところの「うっかり乗せられたら」というのは、

「騙されたと思って証明を読んでみたら、やっぱり間違ってて徒労だった」

という状況を想定しているのだと思われるが、この理屈が通るのは、
そもそもこの定理に何の興味もなくてスルーしたいときだけである。

「わたくしスレ主はその定理の成否に興味がないので、
 うっかり乗せられた挙句に徒労に終わったら たまったものではありません。」

このような理屈なら、筋が通る。しかし、お前はそうではない。お前は

・ たった2ページの証明は読みたがらないが、反例モドキを探すことには興味がある

のである。つまり、定理の成否そのものには興味があるのである。ならば、
その定理の根拠が明確に書いてある「たった2ページの証明」を避け続けるのは
極めて不自然である。証明の間違いが直接的に発見できたなら、その時点でスレ主に
軍配が上がることになり、決着がつくのだから、むしろ それはスレ主が望んでいることであろう。

別の言い方をすると、定理の成否に興味がある時点で、「うっかり乗せられる」という発想は
決して出てこないはずなのである。そこがスレ主の詭弁である。

239 BLACKXスマホ ◆jPpg5.obl6 2017/12/18(月) 20:03:49 ID:
>>236
私は証明PDFを読んだ結果が>>234だけど?ちゃんと私のレス読んだ?

240 132人目の素数さん 2017/12/18(月) 20:29:11 ID:
スレ主 国語 国語

241 132人目の素数さん 2017/12/18(月) 23:07:31 ID:
証明pdfのline2-7に吹いた
スレ主に理解させるにはここまで書かなきゃいけないのかと
そしてそれを読めないスレ主にも吹いた

242 132人目の素数さん 2017/12/18(月) 23:08:11 ID:
>>241
> 証明pdfのline2-7

ページ2のline2-7ね
どんな易しい本もここまでは書かないよ

243 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/18(月) 23:28:19 ID:
>>239-242 & >>231
どうも。スレ主です。
BLACKXちゃんの日本語難しいわ

「私も読んでみたけど兼ね問題なく理解できた」は、
何を読んで、何がどう理解できたと?(^^

で、いま問題にしているのは、「証明が正しいかどうか」であって、「理解できた」では、「証明が正しい」との間には、ギャップがあるけどね(普通の数学の会話では)
「変形切断幕いわゆるポップコーン関数でも成り立つと考えられるから」も意味わからんかったな~(^^

まあ、「証明が正しい」と言いたいんだろう
お一人、「証明が正しい」という人が増えて、今二人か

さあさあ、あとは、無いか無いか

244 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/18(月) 23:28:36 ID:
>>238
>詭弁である。お前が言うところの「うっかり乗せられたら」というのは、
>「騙されたと思って証明を読んでみたら、やっぱり間違ってて徒労だった」
>という状況を想定しているのだと思われるが、

いや、”徒労”も少しあるが、
懸念しているのは、”騙される”ってやつよ
「だんな、この話は儲かりますよ」という類いで、一つ一つのロジックは一見もっともだが、全体としては「なんか可笑しい」ということ。これよくあること
だから、定理の真贋を見極めるのが先だと。そのために、その定理が既存の数学理論の中でどう位置付けられるのかを調べている

245 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/18(月) 23:29:24 ID:
>>224
いや、講義はありがたいが、下記

”定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする.
Bf :={x ∈ R | lim sup y→x |(f(y) - f(x))/(y - x)|< +∞ }
と置く: もしR-Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、 f はある開区間の
上でリプシッツ連続である.
(以下証明の文言から)
よって、 f は(a, b) 上でリプシッツ連続である.”

で、話は通常の実数Rで、f : R → Rは、不連続を許す、1変数一価関数でだと。
そこに、通常のいわゆる自然な(アルキメデス)距離を、入れる。

1次元のユークリッド空間と、(x,y)で2次元までで可だと
だから、難しい位相はちょっと置いておいて

”内点を持たない閉集合”とは、「ある1点から成る集合」と簡単に書けば良いのでは?
それから、”Bf :={x ∈ R・・”なのだから、これは1次元の話で、R-Bf も同様に1次元の話

”内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる”とは、単に、「分散された『ある1点から成る集合』の高々可算和である」と平易に表現して良いのでは?
違ったらそう言ってくれ

246 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/18(月) 23:30:33 ID:
>>225
>大間違い。カントール集合は内点を持たない。

ああ、そうかも。まあ、”カントール集合は内点を持たない”は、
「孤立点のみから成る集合を離散集合 (discrete set) という。
ユークリッド空間における離散部分集合は可算である
(これは有理数全体のなす集合 Q が実数全体のなす集合 R において稠密であるという事実に基づけば、ユークリッド空間における部分集合の各点を孤立させるというのは、有理数を座標に持つ点(有理点)からなる集合に一対一に写すという意味になるためである)。」(>>141
から即断して例示したが、カントール集合は離散集合ではないのか?

247 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/18(月) 23:31:20 ID:
>>226-228

えーと、>>220で4項の前に書いた、3項(下記)をスルーした?
”3.それを説明するために、まず階段函数を考える
  x<0でf(x)=0, 0=<xでf(x)=1である階段函数で、X=0で不連続で不連続点は0で、不連続点は1点であり、”内点を持たない閉集合被覆できる”
  一方、X=0を、リプシッツ連続という視点でみると、X=0を挟んで左右平等なので、x<0から見てもリプシッツ”不”連続”

このリプシッツ”不”連続は、1点で被覆できるのか? 少なくとも、左右2点が、リプシッツ”不”連続ではないのか?
もし、異なる2点がリプシッツ”不”連続で、その2点間もリプシッツ”不”連続が言えるなら、内点を持つよ

そもそも、”R-Bf は内点を持たない閉集合で被覆できる”の証明は、どこかの標準テキストにあるのか?

248 132人目の素数さん 2017/12/18(月) 23:57:46 ID:
群を抜くスレ主の頭の悪さ

249 132人目の素数さん 2017/12/19(火) 00:09:00 ID:
こんなのを相手にまともに答えてる人が実在する奇跡

250 132人目の素数さん 2017/12/19(火) 00:13:28 ID:
>>246
>カントール集合は離散集合ではないのか?

レベルが低すぎて お話にならんなw
カントール集合は内点を持たない閉集合で、かつ 非 可 算 無 限 集 合 である。
離散集合は自動的に可算なので、カントール集合は離散集合にならない。

>>245
>”内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる”とは、単に、
>「分散された『ある1点から成る集合』の高々可算和である」と平易に表現して良いのでは?
>違ったらそう言ってくれ

ぜんぜん違う。「内点を持たない閉集合であって非可算無限集合であるもの」が存在する。
従って、「1点から成る集合の高々可算和」に限定すると、定理の主張が弱くなってしまう。

251 132人目の素数さん 2017/12/19(火) 00:22:19 ID:
>>247
>”R-Bf は内点を持たない閉集合で被覆できる”の証明は、どこかの標準テキストにあるのか?

スレ主が持ってきた「3」と「4」の2つの例では、どちらも被覆「できる」。
なぜなら、どちらの例でも R-Bf = {0} が成り立つからだ。
スレ主は何かを盛大に勘違いしている。何を勘違いしているのかは俺にも分からない。
質問の意図も不明瞭である。一応、以下で回答する。


>このリプシッツ”不”連続は、1点で被覆できるのか? 少なくとも、左右2点が、リプシッツ”不”連続ではないのか?
>もし、異なる2点がリプシッツ”不”連続で、その2点間もリプシッツ”不”連続が言えるなら、内点を持つよ

質問の意味が全く不明。左右2点とはどの2点のことを言っているのか?なぜ具体的な形で答えないのか?

「 x=π と x=√2 の2点においてリプシッツ不連続である」

のような、具体的な形で答えよ。また、何度も言うように、「内点を持つよ」という書き方だけでは意味が定まらない。
内点とは集合とセットで用いられる概念である。どのような集合の内点を考えているのか、その「集合」を明示せよ。

ちなみに、「3」の関数でも「4」の関数でも、R-Bf = {0} が成り立つので、リプシッツ不連続点は x=0 の一点のみである。
特に、R-Bf は内点を持たないし、R-Bf は「内点を持たない閉集合の高々可算無限和で被覆できる」ことになる。
なので、スレ主は何かを盛大に勘違いしている。

252 132人目の素数さん 2017/12/19(火) 00:29:18 ID:
補足になるが、一応、「一点でのリプシッツ連続・不連続」を復習しておく。前スレだかこのスレだかに書いたように、

「 limsup[y→x]|(f(y)-f(x))/(y-x)|<+∞ が成り立つとき、f は一点 x でリプシッツ連続であるという 」
「 limsup[y→x]|(f(y)-f(x))/(y-x)|=+∞ が成り立つとき、f は一点 x でリプシッツ不連続であるという 」

……というのが、一点でのリプシッツ連続・不連続の定義である。この定義に当てはめて考え直してみよ。
「3」の関数でも「4」の関数でも、

・ x≠0 のとき limsup[y→x]|(f(y)-f(x))/(y-x)|=0
・ x=0 のとき limsup[y→x]|(f(y)-f(x))/(y-x)|=+∞

という性質が成り立つことが確かめられるので、それらの関数のリプシッツ不連続点は、どちらの関数でも
「 x=0 のみ」であり、よって R-Bf = {0} である。一方で、スレ主は何かを盛大に勘違いしつつ
「リプシッツ不連続点は左右2点ある」などと言っているので、繰り返しになるが、どの2点のことを
言っているのか、具体的に答えよ。より明確に解答形式を指定すると、

「 3 の関数は x=√2 と x=e^e の2点においてリプシッツ不連続である」
「 4 の関数は x=-1 と x=2017 の2点においてリプシッツ不連続である」

のような形で答えよ。

253 132人目の素数さん 2017/12/19(火) 01:08:34 ID:
>>155のスレ主の

>「< +∞」の解釈が問題となる

というアホな発言を思い出したのだが、もしかしたら、
スレ主は R-Bf がどういう集合を意味するのか
理解してないのかもしれない。

――――――――――――――――――――――――――――――――――
f:R → R に対して、

B_f:= { x∈R| limsup[y→x]|(f(y)-f(x))/(y-x)|<+∞ }

と定義したのだった。このとき、

R-B_f = { x∈R| limsup[y→x]|(f(y)-f(x))/(y-x)|=+∞ }

が成り立つ。
――――――――――――――――――――――――――――――――――

これが成り立つことは理解してるだろうな?

254 132人目の素数さん 2017/12/19(火) 07:08:54 ID:
>>233
> いや、いま職場からだから、簡単にな

スレ主はさっさと仕事を辞めて、
数学に集中すべし‼

255 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/19(火) 07:32:11 ID:
>>251
おれは、「”R-Bf は内点を持たない閉集合で被覆できる”の証明は、どこかの標準テキストにあるのか?」と聞いたんだけど?
調べた限りでは、無かった
だから、そこから独自理論?

>>このリプシッツ”不”連続は、1点で被覆できるのか? 少なくとも、左右2点が、リプシッツ”不”連続ではないのか?
>>もし、異なる2点がリプシッツ”不”連続で、その2点間もリプシッツ”不”連続が言えるなら、内点を持つよ
>質問の意味が全く不明。左右2点とはどの2点のことを言っているのか?なぜ具体的な形で答えないのか?

リプシッツ連続、リプシッツ”不”連続とも、本来2点を考えた数学概念じゃないのか?
”Bf :={x ∈ R | lim sup y→x |(f(y) - f(x))/(y - x)|< +∞ }”とあるように、異なる2点yとxが有って成り立つのが基本だろう
たしかに、”< +∞ ”と書いてあるところがミソかもしれんが・・

もう一度聞くが、「どこかの標準テキストにあるのか?」

256 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/19(火) 07:32:32 ID:
>>252
>補足になるが、一応、「一点でのリプシッツ連続・不連続」を復習しておく。前スレだかこのスレだかに書いたように、
>
>「 limsup[y→x]|(f(y)-f(x))/(y-x)|<+∞ が成り立つとき、f は一点 x でリプシッツ連続であるという 」
>「 limsup[y→x]|(f(y)-f(x))/(y-x)|=+∞ が成り立つとき、f は一点 x でリプシッツ不連続であるという 」
>
>……というのが、一点でのリプシッツ連続・不連続の定義である。この定義に当てはめて考え直してみよ。

この定義は、「どこかの標準テキストにある?」、それとも、あなたの独自定義?

257 132人目の素数さん 2017/12/19(火) 07:46:11 ID:
>>256
> >……というのが、一点でのリプシッツ連続・不連続の定義である。この定義に当てはめて考え直してみよ。
>
> この定義は、「どこかの標準テキストにある?」、それとも、あなたの独自定義?

(横レスだが言わせてくれ)

おまえが言い出した『一点でのリプシッツ連続・不連続』なる独自用語に
わざわざ付き合ってやってるんだろうが!!!!!!!(呆)

https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1512046472/603
>リプシッツ不連続な点(それは内点を持たないとする)が可算無限個あって、それら可算無限個の点が、有理数のようにR中に稠密に分散されているとし、
>もちろん、リプシッツ不連続な点以外は、全てリプシッツ連続で、B_f={ x∈R|limsup[y→x]|(f(y)-f(x))/(y-x)|<+∞ } を満たすとする。
>「そういう関数は、数学的に存在しえない!」

R上の関数におけるリプシッツ連続とは、本来は「区間」の上で定義される概念であり、
「一点におけるリプシッツ連続」という言葉遣いは見たことが無い。あえて定義するなら、

「 f が点xにおいて limsup[y→x]|(f(y)-f(x))/(y-x)|<+∞ を満たすとき、f は一点xにおいてリプシッツ連続である」

という定義を採用するのが自然だと思われる。

258 132人目の素数さん 2017/12/19(火) 07:54:14 ID:
>>255
> おれは、「”R-Bf は内点を持たない閉集合で被覆できる”の証明は、どこかの標準テキストにあるのか?」と聞いたんだけど?

(もうひとつ横レスだが言わせてくれ)

オマエは

1)定理1.7『A⇒B』が成立するためには『Aが真でなければならない』と思っているのか?(呆)

それとも

2)Rの一点部分集合{0}やQが『内点を持たない閉集合で被覆できる』ことが分からないのか?(呆)


率直に言って、君は数学に向いてないぞ

259 132人目の素数さん 2017/12/19(火) 08:23:38 ID:
手取り足取り教えられても理解できないスレ主の頭の悪さは尋常でない

260 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/19(火) 09:41:20 ID:
>>237 訂正

ビックカメラ
 ↓
ビックリカメラ
 ↓
ドッキリカメラ

かな?
(^^

261 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/19(火) 09:49:31 ID:
>>257-258

どなたかな?
定理の本人じゃないと?

単純に
定理の条件
”R-Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる”
が1個の閉集合の場合に標準テキストにあるかどうかを問うているのだが?

なんか、ごまかしてないか?

262 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/19(火) 10:33:47 ID:
>>258
>率直に言って、君は数学に向いてないぞ

小利口にわけわからん理屈で、簡単に丸め込まれるより、きちんとロジックの筋を通す方が、数学的だと思うけどね
もちろん、大部の本で「取りあえず飲み込んで先に進む」という勉強法も必要だと思うが
いまの場合、飲み込んで先に進んでも何もないだろう

> 2)Rの一点部分集合{0}やQが『内点を持たない閉集合で被覆できる』ことが分からないのか?(呆)

論理のすり替え
単なる一点部分集合ではない

未定義だが、一か所という言葉を使う
一か所リプシッツ不連続点x=0を持つ階段関数とかが、その箇所を『内点を持たない閉集合で被覆できる』と言えるかどうかが、問題だ

263 132人目の素数さん 2017/12/19(火) 10:34:32 ID:
>>261
> なんか、ごまかしてないか?

ごまかしてないよ

> 2)Rの一点部分集合{0}やQが『内点を持たない閉集合で被覆できる』ことが分からないのか?(呆)

って言ってるじゃん。R-Bfが一点集合{0}やQなら被覆できるじゃん。何の文句があるんだよ

264 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/19(火) 10:40:57 ID:
>>257
>「 f が点xにおいて limsup[y→x]|(f(y)-f(x))/(y-x)|<+∞ を満たすとき、f は一点xにおいてリプシッツ連続であ>る」
>という定義を採用するのが自然だと思われる。

その定義なら、補集合は開集合にならないか?

265 132人目の素数さん 2017/12/19(火) 10:41:44 ID:
勘違いだらけのお馬鹿をあそこまで根気良く相手にする>>253氏には心底感心するわ
↓こんな具合に、お馬鹿さんが理解できない理由まで推測してあげてるんだからな。大人と子どもの構図だよまるで。

>>253 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2017/12/19(火) 01:08:34.31 ID:eFT4s0P8
> >>155のスレ主の
>
> >「< +∞」の解釈が問題となる
>
> というアホな発言を思い出したのだが、もしかしたら、
> スレ主は R-Bf がどういう集合を意味するのか
> 理解してないのかもしれない。

266 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/19(火) 10:43:26 ID:
>>263
>R-Bfが一点集合{0}やQなら

これの証明が標準テキストにあかどうかだ
それを聞きたい

267 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/19(火) 10:44:59 ID:
>>266 訂正

これの証明が標準テキストにあかどうかだ
 ↓
これの証明が標準テキストにあるかどうかだ

268 132人目の素数さん 2017/12/19(火) 10:54:05 ID:
>>266
> > R-Bfが一点集合{0}やQなら
> これの証明が標準テキストにあかどうかだ
> それを聞きたい

R-Bfが一点集合{0}になりうるかどうかを聞きたいってこと?
⇒そのようなfの例はすでに出てるじゃん。

Rの一点集合{0}が『内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる』かどうかを聞きたい、ってこと?
Rの部分集合{0}は内点を持たない閉集合なんだから1個の閉集合で被覆できてるじゃん。

何が聞きたいのか何が分からないのか俺には分からん。

269 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/19(火) 11:02:15 ID:
>>268

知りたいことは
下記
”函数の連続点の全体からなる集合は開集合の可算個の交わり(Gδ-集合)である。また不連続点の全体は閉集合の可算個の合併(Fσ-集合)である。”
とあるけど

単純に、リプシッツ連続とリプシッツ不連続にも、この(Gδ-集合)と(Fσ-集合)の理論を類推適用してないかな?
で、標準テキストでは、「リプシッツ連続とリプシッツ不連続に、類推適用して良いとなっていない」ように思うが・・

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%8D%E9%80%A3%E7%B6%9A%E6%80%A7%E3%81%AE%E5%88%86%E9%A1%9E
不連続性の分類
(抜粋)
関数の不連続点の集合
函数の連続点の全体からなる集合は開集合の可算個の交わり(Gδ-集合)である。また不連続点の全体は閉集合の可算個の合併(Fσ-集合)である。
(引用終わり)

270 132人目の素数さん 2017/12/19(火) 11:08:05 ID:
>>269
あのね君、まず>>268の質問に答えろよ
オマエの日本語>>261がまずいから
> ”R-Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる”
> が1個の閉集合の場合に標準テキストにあるかどうかを問うているのだが?

こちらはオマエの日本語を一生懸命解釈して

> R-Bfが一点集合{0}になりうるかどうかを聞きたいってこと?

> Rの一点集合{0}が『内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる』かどうかを聞きたい、ってこと?

って聞いてるんだからさ。このどちらでもないならそもそも質問の日本語がおかしいだろ。

271 132人目の素数さん 2017/12/19(火) 11:13:43 ID:
>>269
> ”函数の連続点の全体からなる集合は開集合の可算個の交わり(Gδ-集合)である。また不連続点の全体は閉集合の可算個の合併(Fσ-集合)である。”
> 理論を類推適用してないかな?

なんでリプシッツ連続の話をしてるのに連続の話になるの?
いままでそんな話おまえ以外にしたか?

272 132人目の素数さん 2017/12/19(火) 11:26:47 ID:
>>264
> >>257
> >「 f が点xにおいて limsup[y→x]|(f(y)-f(x))/(y-x)|<+∞ を満たすとき、f は一点xにおいてリプシッツ連続であ>る」
> >という定義を採用するのが自然だと思われる。
>
> その定義なら、補集合は開集合にならないか?

あるx∈RのみがB_fの要素の場合を考えてるってこと?
そのときR-B_fが開集合で『疎な閉集合の可算和で覆えない』として、いったい何が問題なの?
定理1.7の仮定にmatchしないんだから反例にならないでしょ。

273 132人目の素数さん 2017/12/19(火) 11:31:06 ID:
>>262
> 一か所リプシッツ不連続点x=0を持つ階段関数とかが、その箇所を『内点を持たない閉集合で被覆できる』と言えるかどうかが、問題だ

一か所リプシッツ不連続点だろうが微分不可能点だろうがそれがRの一点部分集合{0}なら疎な閉集合{0}で被覆できるだろ。
一体何が問題なんだよ・・・・・

274 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/19(火) 14:52:44 ID:
>>273

>一か所リプシッツ不連続点だろうが微分不可能点だろうがそれがRの一点部分集合{0}なら疎な閉集合{0}で被覆できるだろ。

>>252に定義があるだろ?
下記

>「 limsup[y→x]|(f(y)-f(x))/(y-x)|<+∞ が成り立つとき、f は一点 x でリプシッツ連続であるという 」
>「 limsup[y→x]|(f(y)-f(x))/(y-x)|=+∞ が成り立つとき、f は一点 x でリプシッツ不連続であるという 」
>
>……というのが、一点でのリプシッツ連続・不連続の定義である。この定義に当てはめて考え直してみよ。

”limsup[y→x]|(f(y)-f(x))/(y-x)|=+∞ が成り立つ”では、
+∞への発散は、イブシロンデルタを使うのが本当だと思うよ

そうすると、イブシロンデルタの範囲では、決してyとxは、一点に重ならない
だから、一点部分集合{0}とは言えないだろう

イブシロンデルタの範囲では、ε近傍(開集合)で被覆できるとすべきじゃないのかね?

275 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/19(火) 14:55:39 ID:
だから、標準テキストでは、そこはどうなっているのかと

276 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/19(火) 15:02:34 ID:
まあ、念のため

http://www.ne.jp/asahi/search-center/internationalrelation/mathWeb/MetricSpace/neighborhoodR1.htm
R上の近傍概念と、そのバリエーション 
(抜粋)
・「R上の点aのε近傍」とは、《点aからの距離がε以内の点》をすべてあつめた《Rの部分集合》のこと。
     ただし、εは正ならばどんなに小さくてもよいとする。
・「R上の点aの近傍」とは、点aのあるε近傍を含む《Rの部分集合》のこと。[松坂『解析入門1』3.1-E(p.100)]]

277 132人目の素数さん 2017/12/19(火) 16:39:57 ID:
別の人のレスと重複するところもあるが、俺からの返答。


[一点でのリプシッツ連続・不連続という言葉について]

別の人が既に指摘しているし、俺も前スレで書いているように、そもそも俺は
このような言葉を聞いたことが無い。敢えて定義するなら >>252 のように
定義するのが自然だろう、という話を前スレで行った。そして、前スレの

ttps://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1512046472/635

で書いたように、「一点でのリプシッツ条件」という言い方をした方がよい、とも書いた。

その後、スレ主は >>252 の定義に異論を唱えることをせず、しかも「一点でのリプシッツ条件」という言葉は
使わずに「一点でのリプシッツ連続・不連続」という言葉を使い続けた。従って、スレ主もまた、>>252 の用法で
「一点でのリプシッツ連続・不連続」という言葉を使うことに「合意した」のだと俺は解釈しているのだが、
なぜかスレ主は今になって この言葉の定義を蒸し返している。お話にならない。

そして、根本的な話をすると、B_f という集合は、「一点でのリプシッツ連続・不連続」という
ヘンな用語とは無関係に定義されているのだから、「一点でのリプシッツ連続・不連続」という
ヘンな言葉を使わなくても、R-B_f が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるかどうかは
機械的に判定可能である。

まとめると、スレ主は、「一点でのリプシッツ連続・不連続」という全く不必要な言葉を振り回した挙句に、
その言葉が持つ表面的な響きに引きずられて、独りで勝手に意味不明な勘違いに陥っていることになる。

278 132人目の素数さん 2017/12/19(火) 16:42:34 ID:
>>274
> イブシロンデルタの範囲では、ε近傍(開集合)で被覆できるとすべきじゃないのかね?

相当混乱しとるな

何を被覆するの?
リプシッツ不連続点でしょ?
それが一点部分集合{0}であれば、それは被覆できる。
それが疎な閉集合の可算和でなければ被覆できない。
ただそれだけじゃん。

それとも君は一点で不連続、という関数は存在しないとでも思っているのか?

279 132人目の素数さん 2017/12/19(火) 16:42:56 ID:
今回の件を踏まえて、これ以降、俺の方からは「一点でのリプシッツ連続・不連続」という言葉は
二度と使わないことにする。

B_f := { x∈R| limsup[y→x]|(f(y)-f(x))/(y-x)|<+∞ }

という、数式だけで書かれた明確な定義があるのだから、わざわざヘンな言葉を持ち出さずとも、
この定義だけから機械的に判定していけばよいのである。

・・・という約束のもとで、さらにレスを続ける。
まずは、R-B_f がどういう集合になるのかを明記する。実は

R-B_f = { x∈R| limsup[y→x]|(f(y)-f(x))/(y-x)|=+∞ }

が成り立つ。おそらくスレ主はこのことを全く理解していない。
なので、次からの3レスで、このことを解説する。

280 132人目の素数さん 2017/12/19(火) 16:44:34 ID:
ID:eFT4s0P8氏が戻ったので一旦引きます

281 132人目の素数さん 2017/12/19(火) 16:48:15 ID:
[ 解説1, limsup の定義 ]

g:R → R と x∈R に対して、limsup[y→x] g(y) を定義する方法は主に2つある。

1つ目の定義の仕方:
拡大実数を X と書くことにする。R ⊂ X が成り立つことに注意して、任意の δ>0 に対して

{ g(y)|0<|y-x|<δ} ⊂ X

が成り立つので、X の中に sup{ g(y)|0<|y-x|<δ} が常に定まる。
よって、X の中に inf[δ>0] sup{ g(y)|0<|y-x|<δ} が常に定まる。
この値のことを limsup[y→x] g(y) と定義する。すなわち、

limsup[y→x] g(y):= inf[δ>0] sup{ g(y)|0<|y-x|<δ} (右辺は X の中で定まる値)

と定義する。この定義では、limsup[y→x] g(y) ∈ X が成り立つ。

2つ目の定義の仕方:
拡大実数を持ち出さずに、集合 { g(y)|0<|y-x|<δ} が δ>0 に応じてどんな挙動を示すかで場合分けし、
ツギハギで定義する方法がある(ツギハギの詳細は面倒くさいので省略)。この方針で定義する利点は、
「拡大実数がいらない」という点だけであり、定義の仕方としては美しくない。しかも、こちらの定義では
「 limsup[y→x] g(y)=+∞ 」や「 limsup[y→x] g(y)=-∞ 」が形式的な表記として導入されるので、
±∞ の取り扱いが形式的なものになる。しかし、大学1年程度の微積分では、この定義が用いられることがある。
ちなみに、得られる limsup の性質は、拡大実数を用いて定義したものと同じになる。
というか、同じになるような定義を、拡大実数を用いずにツギハギで構成しているだけ。

282 132人目の素数さん 2017/12/19(火) 16:54:13 ID:
[ 解説2, limsup[y→x] g(y) < +∞ の意味 ]

1つ目の定義における limsup[y→x] g(y) < +∞ の意味:
α=limsup[y→x] g(y) と置くと、これは X の元なのだった。また、+∞ も X の元である。よって、

limsup[y→x] g(y) < +∞

という不等式は、

α<+∞, α∈X, +∞∈X

という、X の中での普通の不等式を意味する。この時点で意味が定まっているのだから、これで終わり。
ただし、+∞という記号が出てこない書き方も可能である。実際、拡大実数の性質により、
「 α<+∞, α∈X, +∞∈X 」という条件から

「ある実数 C>0 が存在して α<C が成り立つ」

ことが言える。よって、limsup[y→x] g(y) < +∞ という記号列は、

「ある実数 C>0 が存在して limsup[y→x] g(y)<C が成り立つ」

という意味である、… とも書ける。

2つ目の定義における limsup[y→x] g(y) < +∞ の意味:
こちらの場合、「 limsup[y→x] g(y) < +∞ 」という表記法自体がそもそも形式的な表記として導入され、
その意味は そもそも「ある実数 C>0 が存在して limsup[y→x] g(y)<C が成り立つ」と定義される。

283 132人目の素数さん 2017/12/19(火) 16:57:56 ID:
[ 解説3, R-B_f ={ x∈R| limsup[y→x]|(f(y)-f(x))/(y-x)|=+∞ } が成り立つ理由 ]

2つの定義それぞれに対して、R-B_f ={ x∈R| limsup[y→x]|(f(y)-f(x))/(y-x)|=+∞ } が成り立つことを
以下で解説する。まず、1つ目の定義で limsup を定義した場合の

B_f={ x∈R| limsup[y→x]|(f(y)-f(x))/(y-x)|<+∞ }

について見ていく。1つ目の定義では、limsup[y→x]|(f(y)-f(x))/(y-x)|は拡大実数 X の中の元であるから、
拡大実数の性質により、自動的に

R-B_f={ x∈R| limsup[y→x]|(f(y)-f(x))/(y-x)|=+∞ }

が成り立つ。これで終わりww
あるいは、1つ目の定義において、「 α<+∞ 」は「ある実数 C>0 が存在して α<C が成り立つ」
という意味にもなることが拡大実数の性質により導かれるのだった。よって、

B_f={ x∈R|ある実数 C>0 が存在して limsup[y→x]|(f(y)-f(x))/(y-x)|<C が成り立つ } … (1)

とも表せることになるので、この表現を使うと

R-B_f={ x∈R|任意の実数 C>0 に対して limsup[y→x]|(f(y)-f(x))/(y-x)|≧C が成り立つ } … (2)

と表せることになる。ここで、「任意の実数 C>0 に対して α≧C が成り立つ」という性質を満たす α∈X は
α=+∞ しかないことが拡大実数の性質により導かれるので、自動的に

R-B_f={ x∈R| limsup[y→x]|(f(y)-f(x))/(y-x)|=+∞ } … (3)

が導かれる。よって、1つ目の定義では、いずれにしても (3) が成り立つ。
2つ目の定義では、そもそも (1) の意味として出発することになる。この場合、
「ツギハギの定義」と見比べることで、やはり (3) が導出される(詳細は省略)。

284 132人目の素数さん 2017/12/19(火) 17:06:56 ID:
以上により、

R-B_f = { x∈R| limsup[y→x]|(f(y)-f(x))/(y-x)|=+∞ }

となる。このことを前提として、「3」「4」の関数 f に対して R-B_f がどのような集合になるのかを、
ヘンな言葉を使わずに機械的に見ていく。

「3」の関数の場合:

・ x<0 なる任意の x に対して、limsup[y→x]|(f(y)-f(x))/(y-x)|=0 である。
・ x>0 なる任意の x に対して、limsup[y→x]|(f(y)-f(x))/(y-x)|=0 である。
・ x=0 のときは、limsup[y→x]|(f(y)-f(x))/(y-x)|=+∞ である。

以上より、この f の場合は { x∈R| limsup[y→x]|(f(y)-f(x))/(y-x)|=+∞ } = {0} となる。
すなわち、R-B_f = {0} となる。

「4」の関数の場合:
・ x<0 なる任意の x に対して、limsup[y→x]|(f(y)-f(x))/(y-x)|=0 である。
・ x>0 なる任意の x に対して、limsup[y→x]|(f(y)-f(x))/(y-x)|=0 である。
・ x=0 のときは、limsup[y→x]|(f(y)-f(x))/(y-x)|=+∞ である。

以上より、この f の場合も { x∈R| limsup[y→x]|(f(y)-f(x))/(y-x)|=+∞ } = {0} となる。
すなわち、R-B_f = {0} となる。

従って、「3」「4」の関数に対して「 R-B_f は内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるか?」という問題を考えることは、
「 {0} は内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるか?」という問題を考えることに一致する。そして、その問題では
明らかに「被覆できる」。以上により、「3」「4」の f の場合は「被覆できる」ことになる。

取り合えずはここまで。何か疑問があったらどうぞ。

285 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/19(火) 17:26:39 ID:
>>284
素晴らしい解説ありがとう(^^
すぐには理解できないので、それはじっくり読むよ

ところで、本当に標準テキストにそれはないのか? 自分で検索した範囲では見つからず。
リプシッツ不連続な点が、1点で被覆できるか、それともε近傍になるかくらい、基礎の基礎だと思うんだが?

そして、無いとすれば、それやっぱりプロの数学者に見てもらった方が良いのでは?
もし、初出なら勿体ないよ

286 132人目の素数さん 2017/12/19(火) 17:52:39 ID:
おっちゃんです。
横から割り込む形になり申し訳ないが、
そこまでε-δやε-近傍にこだわりたいなら、以下の証明でどうだい。

[命題] Iを開区間とする。連結な距離空間 R から誘導される通常の位相について、
高々1個の正の実数εに対し、高々2個のIの異なる有理点 a,b に対してそれぞれ定まって得られるような、
連結距離空間 R 上の閉区間 [a-ε, a+ε]、[b-ε, b+ε] を完全集合とする。
このとき、Iを定義域とし、任意のIの有理点で不連続、かつ任意のIの無理点で微分可能となる実関数 f(x) は存在しない。
証明) [第1段]:開区間Iで定義され、任意のIの有理点で不連続、かつ任意のIの無理点で微分可能となる実関数 f(x) が存在するとする。
Iの有理点aを任意に取る。実関数 f(x) は点aで不連続だから、或る正の実数εに対して正の実数 δ(ε) が定まって、
|a-b|<δ(ε) であって |f(a)-f(b)|≧ε を満たすようなIの有理点bが存在する。
S_1={ c∈I | cは無理数で、|c-a|<δ(ε) }、S_2={ c∈I | cは無理数で、|c-b|<δ(ε) } とおく。
すると、区間Iは連結な実数直線Rの部分空間だから、無理数の稠密性から、 max(|c-a|, |c-b|)<δ(ε) なるIの無理数cが存在し、
(S_1)∩(S_2)≠Φ。有理数の稠密性から、0<d<ε なる有理数dが存在して、0<d/2<ε/2。A=d/2 とおく。

287 132人目の素数さん 2017/12/19(火) 17:55:34 ID:
(>>286の続き)
[第2段]:i=1,2 を任意に取る。iに対して点 c∈(S_1)∩(S_2) を任意に取る。実関数 f(x) はIの無理点cで微分可能なことから
cで連続だから、Aに対して或る正の実数 δ'(A) が定まって、M=δ'(A) とおくと、|c-x|<M のとき |f(c)-f(x)|<A となる。
|c-x_{i,1}|<M なるIの点 x_{i,1} を適当に取り、|f(c)-f(x_{i,1})|<ε_{i,1}<A を満たす正の実数 ε_{i,1} を任意に取る。
2以上の正整数nを任意に取る。同様に、|c-x_{i,n}|<M なるIの点 x_{i,n} を適当に取り、|f(c)-f(x_{i,n})|<ε_{i,n}<ε_{i,1}
を満たす正の実数 ε_{i,n} を任意に取る。同様に、|c-x_{i,n+1}|<M なるIの点 x_{i,n+1} を適当に取り、
|f(c)-f(x_{i,n+1})|<ε_{i,n+1}<ε_{i,n} を満たす正の実数 ε_{i,n+1} を任意に取る。
2以上の正整数nは任意であるから、nについて帰納的に考えると、任意の2以上の正整数nに対して
次の条件をすべて同時に満たすようなIの実数 x_{i,n}, x_{i,(n+1)} と正の実数 ε_{i,n}, ε_{i,(n±1)} が存在する:
ⅰ):|c-x_{i,n}|<M、|f(c)-f(x_{i,n})|<ε_{i,n}<ε_{i,(n-1)}、
ⅱ):|c-x_{i,(n+1)}|<M、|f(c)-f(x_{i,(n+1)})|<ε_{i,(n+1)}<ε_{i,n}。
ここに、|c-x_{i,1}|<M、|f(c)-f(x_{i,1})|<ε_{i,1}<A。このとき構成された正の実数列 { ε_{i,n} } は単調減少である。
{ ε_{i,n} } は下に有界で、任意の正整数nに対して ε_{i,n}, x_{i,n} は |f(c)-f(x_{i,n})|<ε_{i,n} を満たすから、
iに対して或る非負実数 μ_i が存在して { ε_{i,n} } は μ_i に収束し、任意の正整数nに対して μ_i≦|f(c)-f(x_{i,n})|<ε_{i,n}。
iに対して (S_1)∩(S_2) の点cが任意に取れて、i=1,2 は任意だったから、各 i=1,2 に対して、点 c∈(S_1)∩(S_2) を任意に取れば、
すべての正整数nについて条件 |c-x_{i,n}|<M を満たすようなIの点列 { x_{i,n} } が任意に取れて、
更にiに対して正の単調減少列 { ε_{i,n} }、及び或る非負実数 μ_i がそれぞれ定まって、{ ε_{i,n} } は μ_i に収束し、
任意の正整数nに対して μ_i≦|f(c_i)-f(x_{i,n})|<ε_{i,n}<A=d/2 となる。

288 132人目の素数さん 2017/12/19(火) 18:00:09 ID:
(>>287の続き)
[第3段]:正の実数εと実数aとに対して、連結な距離空間 R から誘導される通常の位相について、
閉区間 [a-ε, a+ε] を完全集合とする。無理数 c_1∈(S_1)∩(S_2) を任意に取る。
任意の正の実数εに対して、連結距離空間 R から誘導された通常の位相について、連結距離空間 R の点aの R の
ε-近傍の閉包 [a-ε, a+ε] 上に R の有理点は稠密に存在し、aは [a-ε, a+ε] の孤立点ではない。
従って、A=d/2 となって |f(a)-f(b)|≧ε>d=2A となることに着目し、三角不等式に注意すると、
任意に、すべての正整数nについて条件 |c_1-x_{1,n}|<M を満たし、かつ或る正整数 m'_1 に対して x_{1, m'_1}=a であり、
すべての n≠m'_1 なる正整数nに対して x_{1,n}≠b となるようなIの点列 { x_{1,n} } が取れる。
そして、正の単調減少列 { ε_{1,n} }、及び或る非負実数 μ_1 がそれぞれ定まって、{ ε_{1,n} } は μ_1 に収束し、
このとき任意の正整数nに対して μ_1≦|f(c_1)-f(x_{1,n})|<ε_{1,n}<A となる。
同様に、正の実数εと実数bとに対して、連結な距離空間 R から誘導される通常の位相について、
閉区間 [b-ε, b+ε] を完全集合とする。無理数 c_2∈(S_1)∩(S_2) を任意に取る。
任意の正の実数εに対して、連結距離空間 R から誘導された通常の位相について、連結距離空間 R の点b の R の
ε-近傍の閉包 [b-ε, b+ε] 上に R の有理点は稠密に存在し、bは [b-ε, b+ε] の孤立点ではない。
従って同様に、任意に、すべての正整数nについて条件 |c_2-x_{2,n}|<M を満たし、かつ或る正整数 m'_2 に対して x_{2, m'_2}=b であり、
すべての n≠m'_2 なる正整数nに対して x_{2,n}≠a となるようなIの点列 { x_{2,n} } が取れる。
そして、正の単調減少列 { ε_{2,n} }、及び或る非負実数 μ_2 がそれぞれ定まって、{ ε_{2,n} } は μ_2 に収束し、
このとき任意の正整数nに対して μ_2≦|f(c_2)-f(x_{2,n})|<ε_{2,n}<A となる。

289 132人目の素数さん 2017/12/19(火) 18:01:56 ID:
(>>288の続き)
[第4段]:故に c_1=c_2 として点 c∈(S_1)∩(S_2) を任意に取れば、任意に、すべての正整数nについて条件 |c-x_{1,n}|<M を満たし、
かつ或る正整数 m_1 に対して x_{1, m_1}=a であり、すべての n≠m_1 なる正整数nに対して x_{1,n}≠b となるような
Iの点列 { x_{1,n} } が取れる。このとき更に、任意に、すべての正整数nについて条件 |c-x_{2,n}|<M を満たし、
かつ或る正整数 m_2 に対して x_{2, m_2}=b であり、すべての n≠m_2 なる正整数nに対して x_{2,n}≠a となるような
Iの点列 { x_{2,n} } が取れる。そして、各 i=1,2 に対して正の単調減少列 { ε_{i,n} }、及び或る非負実数 μ_i がそれぞれ定まって、
{ ε_{i,n} } は μ_i に収束し、このとき任意の正整数nに対して μ_i≦|f(c)-f(x_{i,n})|<ε_{i,n}<A となる。
[第5段]:i=1,n=m_1 とすると、x_{1,m_1}=a から |c-a|<M であって、|f(c)-f(a)|<A=d/2。
同様に、i=2,n=m_2 とすると、x_{2,m_2}=b から |c-b|<M であって、|f(c)-f(b)|<A=d/2。
従って、三角不等式から、|a-b|≦|a-c|+|c-b|<M+M=2M、|f(a)-f(b)|≦|f(a)-f(c)|+|f(c)-f(b)|<d/2+d/2=d。
d/2 に対して定まる正の実数 δ(d/2) を δ(d/2)=2M とおけば、|a-b|<δ(d/2) であって |f(a)-f(b)|<d<ε、
故に、εに対して定まる正の実数 δ(ε) を δ(ε)=δ(d/2) とおけば、|a-b|<δ(ε) であって |f(a)-f(b)|<ε。
しかし、これは |f(a)-f(b)|≧ε であったことに反し矛盾する。背理法が適用出来るから、
連結な距離空間 R から誘導される通常の位相について、高々1個の正の実数εに対し、高々2個のIの異なる有理点 a,b に対して
それぞれ定まって得られるような、連結距離空間 R 上の閉区間 [a-ε, a+ε]、[b-ε, b+ε] を完全集合とすると、
開区間Iで定義されたすべてのIの有理点で不連続、すべてのIの無理点で微分可能となる実関数 f(x) は存在しないことになる。

290 132人目の素数さん 2017/12/19(火) 18:03:55 ID:
(>>289の続き)
[命題] Iを開区間とする。任意のIの有理点で不連続、かつ任意のIの無理点で微分可能となる実関数 f(x) は存在しない。
証明) [第6段]:Iを定義域とし、任意のIの有理点で不連続、かつ任意のIの無理点で微分可能となる実関数 f(x) が存在するとする。
すると、上で示した命題の対偶を取って考えると、連結な距離空間 R から誘導される通常の位相について、
高々1個の正の実数εに対し、高々2個のIの異なる有理点 a,b に対してそれぞれ定まって得られるような、
連結距離空間 R 上の閉区間 [a-ε, a+ε]、[b-ε, b+ε] を完全集合とすることは出来ない。
つまり、連結な距離空間 R から誘導される通常の位相について、高々1個の正の実数εに対し、高々2個のIの異なる有理点 a,b に対して
それぞれ定まって得られるような、連結距離空間 R 上の閉区間 [a-ε, a+ε]、[b-ε, b+ε] を完全集合とはならない。
しかし、連結な距離空間 R から誘導される通常の位相について、連結距離空間 R 上の閉区間は完全集合である。
従って、連結な距離空間 R から誘導される通常の位相について、任意の正の実数εに対し、任意のIの異なる2個の有理点 a,b に対して
それぞれ定まって得られるような、連結距離空間 R 上の閉区間 [a-ε, a+ε]、[b-ε, b+ε] は完全集合となる。
これは矛盾である。背理法が適用出来るから、任意のIの有理点で不連続、かつ任意のIの無理点で微分可能となる実関数 f(x) は存在しない。

291 132人目の素数さん 2017/12/19(火) 18:16:44 ID:
>>285
またチンプンカンプンなことを言う

292 132人目の素数さん 2017/12/19(火) 18:40:53 ID:
>>285
> そして、無いとすれば、それやっぱりプロの数学者に見てもらった方が良いのでは?
> もし、初出なら勿体ないよ

1223487+12039874=13263361
という計算は君の言う「標準テキスト」には載ってないかもしれないが、プロの数学者に見てもらう必要はない。
それと同じように、ものすごく簡単なことをやっているのだが、
君の頭ではなかなか理解できない。『テキストに載ってない』と『プロに見てもらえ』と駄々をこねる。

293 132人目の素数さん 2017/12/19(火) 18:55:42 ID:
>>285
>リプシッツ不連続な点が、1点で被覆できるか、それともε近傍になるかくらい、基礎の基礎だと思うんだが?

この件に関して「リプシッツ連続・不連続」という言葉を使うのは やめろ と言っているのだが。
B_f の定義は数式だけで構成されているので、機械的に見ていけばいいだけ。
「リプシッツ連続・不連続」などという言葉は不要。

そして、スレ主のその質問は、limsup に関するスレ主の無理解から来ているトンチンカンな質問に過ぎないので、
まずはスレ主が >>281-284 を理解するのが先決である。一応、スレ主の質問から「リプシッツ不連続」という言葉を
取り除いて数式に変換した、以下の質問に答えることにする。

質問:limsup[y→x]|(f(y)-f(x))/(y-x)|=+∞ が成り立つ x が、1点で被覆できるか、
   それともε近傍になるかくらい、基礎の基礎だと思うんだが?

回答:そのような点 x を、あくまでも単純に一元集合で被覆したい「だけ」なら、そのような点 x の
それぞれに対して、{ x } という一元集合で被覆すれば、明らかに被覆できている。……と、回答としては
これだけで終わりであるが、スレ主はここで何かを盛大に勘違いしている。おそらくスレ主は、

|(f(y)-f(x))/(y-x)|, y∈(x-ε, x+ε)

という、limsup が無い状態の f の勾配について考え、いつの間にか「点 x 」ではなく
「 y∈(x-ε, x+ε) 」の方が主体になってしまい、

「 開区間 (x-ε, x+ε) は、たった1つの一元集合では被覆できないじゃないか 」

とか

「 開区間 (x-ε, x+ε) の中を動き回る y の全体は、たった1つの一元集合では被覆できないじゃないか 」

という類のトンチンカンな勘違いを起こしているものと推測する。
つまり、スレ主の質問は limsup に関する無理解から来ているのであり、
スレ主の質問そのものが最初からトンチンカンかつ無意味なのである。まずは >>281-284 を理解すべし。

294 132人目の素数さん 2017/12/19(火) 20:45:26 ID:
標準テキスト、標準テキストと、一年生用テキストさえ読まないバカが申しております

295 132人目の素数さん 2017/12/19(火) 20:48:23 ID:
limsupも分からないアフォが偉そうなこと言ってやがったんだなあ

296 132人目の素数さん 2017/12/19(火) 20:49:15 ID:
>>262
>>率直に言って、君は数学に向いてないぞ
>小利口にわけわからん理屈で、簡単に丸め込まれるより、きちんとロジックの筋を通す方が、数学的だと思うけどね
だからそれをお前はできてないって意味で数学に向いてないと言われてるんだよ
スレ主 国語 国語

297 132人目の素数さん 2017/12/19(火) 21:00:18 ID:
>こんな具合に、お馬鹿さんが理解できない理由まで推測してあげてるんだからな。大人と子どもの構図だよまるで。
スレ主は自分が何をどうわかってないかをまるでわかってないし、わかろうともしない
だから普通の人なら赤っ恥なところを、平然と上から目線していられる
バカも度を超すと手の施しようが無いという好例である

298 132人目の素数さん 2017/12/19(火) 21:10:04 ID:
>>275
>だから、標準テキストでは、そこはどうなっているのかと
自分の足で本屋か図書館行って読んでこいw どんだけ厚かましいんだよw
他人に聞くべきことかの判断もつかん幼稚園児か?w
そもそもεδ(一年生用テキスト)さえ勉強しないお前が、なんでそんなに標準テキストに拘るんだ?w

299 132人目の素数さん 2017/12/19(火) 21:16:04 ID:
ネーティヴな発想だ。

300 132人目の素数さん 2017/12/19(火) 21:22:16 ID:
>limsupも分からないアフォが偉そうなこと言ってやがったんだなあ
スレ主の場合それどころか sup、inf さえ理解してるか怪しい

301 BLACKX ◆jPpg5.obl6 2017/12/19(火) 21:23:21 ID:
>>243
証明の前に理解できるかの方が重要であると考えられるが。

理解を示せないと正しいかどうかの判断も出来ない。
なぜなら、例えばだが、単位円を分からないやつに単位円を使って1+1=2を証明せよという証明が出来ない事が分かるから。
十分条件ではなく必要条件を満たさないと数学の筆は止まる
君が教えてくれたことだよ?

302 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/19(火) 21:58:31 ID:
>>286-290
おっちゃん、どうも、スレ主です。
いつも、熱心な証明ありがとう(^^

303 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/19(火) 21:59:23 ID:
>>284
あなたは、あまり危機感を持っていないようだが・・
(で、ちょっと逆らうようで悪いが、おれはリプシッツ連続とリプシッツ不連続を使わせて貰うけど)

それで、”定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする.
Bf :={x ∈ R | lim sup y→x |(f(y) - f(x))/(y - x)|< +∞ }
と置く: もしR-Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、 f はある開区間の
上でリプシッツ連続である.
(以下証明の文言から)
よって、 f は(a, b) 上でリプシッツ連続である.”

において、リプシッツ不連続の箇所が、1点から成る閉集合で被覆かどうかは、この定理の価値を決めるキーポイントだと思うようになってきた
1)もし、あなたのお説のように、リプシッツ不連続の1箇所が、常に1点から成る閉集合で被覆できるとすれば、この定理の適用範囲は広い
2)がしかし、リプシッツ不連続の1箇所が、本来1点から成る閉集合で被覆できない(ε近傍などの開集合での被覆)とすれば、この定理の適用範囲は狭い
 (もし、1点から成る閉集合で被覆できる場合が少ないとすれば、適用できない場合が殆どだろ)
3)そして、この定理の目的であった、”系1.8 有理数の点で不連続; 無理数の点で微分可能となるf : R → R は存在しない.”について
  被覆が1点から成る閉集合でないとすれば、当然ある不連続な有理数の点の近傍の内点の無理数が、リプシッツ不連続になるから、系1.8はそれだけで言えてしまう
4)だから、その”定理1.7 (422 に書いた定理)”の証明文書中に、「リプシッツ不連続の1箇所が、常に1点から成る閉集合で被覆できる」が証明されているべきと思うよ

304 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/19(火) 22:00:49 ID:
>>292
>1223487+12039874=13263361
>という計算は君の言う「標準テキスト」には載ってないかもしれないが、プロの数学者に見てもらう必要はない。
>それと同じように、ものすごく簡単なことをやっているのだが、

そうなのかね~
あなたのお話だと、
なんで、普通の不連続の場合のように(参考 >>269 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%8D%E9%80%A3%E7%B6%9A%E6%80%A7%E3%81%AE%E5%88%86%E9%A1%9E 不連続性の分類 )
”函数のリプシッツ連続点の全体からなる集合は開集合の可算個の交わり(Gδ-集合)である。またリプシッツ不連続点の全体は閉集合の可算個の合併(Fσ-集合)である。”
というような記述が、論文なり標準テキストにないのかな?
あなたの話が正しければ、そういう記述があると思うけどね

305 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/19(火) 22:01:35 ID:
>>284
"「3」の関数の場合:
・ x<0 なる任意の x に対して、limsup[y→x]|(f(y)-f(x))/(y-x)|=0 である。
・ x>0 なる任意の x に対して、limsup[y→x]|(f(y)-f(x))/(y-x)|=0 である。
・ x=0 のときは、limsup[y→x]|(f(y)-f(x))/(y-x)|=+∞ である。

「4」の関数の場合:
・ x<0 なる任意の x に対して、limsup[y→x]|(f(y)-f(x))/(y-x)|=0 である。
・ x>0 なる任意の x に対して、limsup[y→x]|(f(y)-f(x))/(y-x)|=0 である。
・ x=0 のときは、limsup[y→x]|(f(y)-f(x))/(y-x)|=+∞ である。"

ここ大丈夫か?
「 x<0 なる任意の x に対して、limsup[y→x]|(f(y)-f(x))/(y-x)|=0 である。」をいうために、暗黙に”y<0”としてないか?
「 x>0 なる任意の x に対して、limsup[y→x]|(f(y)-f(x))/(y-x)|=0 である。」をいうために、暗黙に”y>0”としてないか?

yの取り方は、必ずしも、そのよう(”y<0” or”y>0”)には限定されないのでは?

306 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/19(火) 22:03:07 ID:
>>301
BLACKX ◆jPpg5.obl6 ちゃん、どうも。スレ主です。

レスありがとう

>>303-305を読んでみてね(^^

307 132人目の素数さん 2017/12/19(火) 22:06:27 ID:
1年みっちり勉強してからまた数学板に帰ってきたらどう?
スレ主だけレベルが低すぎるよ。

308 132人目の素数さん 2017/12/19(火) 22:08:22 ID:
>>304
??会話が成り立ちませんな

309 132人目の素数さん 2017/12/19(火) 22:12:22 ID:
スレ主 国語 国語

310 132人目の素数さん 2017/12/19(火) 22:33:54 ID:
>>305
>ここ大丈夫か?
>「 x<0 なる任意の x に対して、limsup[y→x]|(f(y)-f(x))/(y-x)|=0 である。」をいうために、暗黙に”y<0”としてないか?
>「 x>0 なる任意の x に対して、limsup[y→x]|(f(y)-f(x))/(y-x)|=0 である。」をいうために、暗黙に”y>0”としてないか?

>yの取り方は、必ずしも、そのよう(”y<0” or”y>0”)には限定されないのでは?

限定してよい。なぜなら、limsup[y→x] g(y) という量は

「 y を x の十分小さな近傍に限定したものとして考えてもよい」

という性質を持つからだ(つまり、lim[y→x] と似た性質を持っている)。
そして、これは limsup の基本的な性質の1つである。標準的な数学書をめくれば、
この性質(もしくは、これと本質的に同じ記述)が必ず書いてある。
ちなみに、この性質が成立するキモとなるのは、

・ 0<δ_1≦δ_2 ならば sup{ g(y)|0<|y-x|<δ_1} ≦ sup{ g(y)|0<|y-x|<δ_2} が成り立つ

という、δ>0 に関する単調性である。さすがに、この程度のことを
いちいちここで詳しく解説することはしないので、あとは自分で勉強せよ。

311 132人目の素数さん 2017/12/19(火) 22:42:21 ID:
スレ主は人に標準教科書に書いてあるか聞く前に自分で標準教科書を勉強することだ
数学は人に聞いて「はいそうですか」という訳にはいかない、自分で勉強することが肝要だ

何か小学生に諭してる気分だ

312 132人目の素数さん 2017/12/19(火) 22:51:00 ID:
>>305
ちなみに、「3」「4」の関数は単純な形をしているので、
俺が >>310 で指摘した「 limsup の基本的な性質 」を経由せずとも、直接的に

・ x<0 なる任意の x に対して、limsup[y→x]|(f(y)-f(x))/(y-x)|=0 である。
・ x>0 なる任意の x に対して、limsup[y→x]|(f(y)-f(x))/(y-x)|=0 である。

を導くことが可能である。以下で、「3」の関数の場合を書いておく。
なお、「3」の関数とは、f(x)= 0 (x<0), 1 (x≧0) という関数である。

[ x<0 の場合 ]
x<0 なる x を任意に取る。このとき、

sup{ |(f(y)-f(x))/(y-x)| | 0<|y-x|<|x|/2 } = 0 … (1)

が成り立つことを示す。0<|y-x|<|x|/2 なる y を任意に取る。このとき、
y < |x|/2+x < |x|+x = (-x)+x = 0 である。すなわち、y<0 である。
よって、f(x)=0 かつ f(y)=0 となるので、|(f(y)-f(x))/(y-x)|=0 である。
これが 0<|y-x|<|x|/2 なる限り言えるので、確かに (1) が成り立つ。この (1) により、

inf[δ>0] sup{ |(f(y)-f(x))/(y-x)| | 0<|y-x|<δ } = 0

が成り立つことが分かる。すなわち、limsup[y→x]|(f(y)-f(x))/(y-x)|=0 が成り立つ。

[x>0 の場合]
x>0 なる x を任意に取る。上と同じようにして、やはり sup{ |(f(y)-f(x))/(y-x)| | 0<|y-x|<|x|/2 } = 0
が成り立つことが分かる。特に、inf[δ>0] sup{ |(f(y)-f(x))/(y-x)| | 0<|y-x|<δ } = 0
が成り立つ。すなわち、limsup[y→x]|(f(y)-f(x))/(y-x)|=0 が成り立つ。

313 132人目の素数さん 2017/12/19(火) 23:06:50 ID:
>>310
> ちなみに、この性質が成立するキモとなるのは、
>
> ・ 0<δ_1≦δ_2 ならば sup{ g(y)|0<|y-x|<δ_1} ≦ sup{ g(y)|0<|y-x|<δ_2} が成り立つ
>
> という、δ>0 に関する単調性である。さすがに、この程度のことを
> いちいちここで詳しく解説することはしないので、あとは自分で勉強せよ。

こんな基本のキまで溯ることになるとは。。。
スレ主は難しいことをさも分かってるかのように書いて、実はlimsupを分かってないとか洒落にもならないよ。

314 132人目の素数さん 2017/12/20(水) 00:33:59 ID:
スレ主はコンパクトがどうのこうのと言ってたのに実はεδ論法すらわかってなかったという前科あり

315 132人目の素数さん 2017/12/20(水) 00:35:22 ID:
スレ主は再起不能レベル

316 132人目の素数さん 2017/12/20(水) 03:28:11 ID:
んなぁ

317 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/20(水) 07:22:14 ID:
>>310

基本的な確認だが、下記に図があるよ
この図に、同意しますか?
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%97%E3%82%B7%E3%83%83%E3%83%84%E9%80%A3%E7%B6%9A
リプシッツ連続
(抜粋)

リプシッツ連続函数に対し、適当な双錐 (白) が存在して、双錐の頂点が函数のグラフ上を移動するように双錐を平行移動するとき、常にそのグラフが双錐の外側 (緑) にあるようにできる。
(引用終り)

318 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/20(水) 07:25:20 ID:
>>310
>「 y を x の十分小さな近傍に限定したものとして考えてもよい」

基本的な確認だが、
例えば、x<0側から、x→0に近づくとき、無意識に”x の十分小さな近傍で、「y=0」を含まないように、εを取る”ようにしていないか?
リプシッツ連続を考えるときは、それは上記(>>317)の記述に照らし合わせると、まずくないかい?
(そもそも、”x の十分小さな近傍”は、(x-ε,x+ε)だろ? x+ε>0と取れるよ。そうすると、y=0が取れて、f(y)=f(0)=1にできるよ)

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%BF%91%E5%82%8D_(%E4%BD%8D%E7%9B%B8%E7%A9%BA%E9%96%93%E8%AB%96)
近傍 (位相空間論)
(抜粋)
距離空間における近傍

距離空間 (X, d) において、X の部分集合 V が X の点 p の近傍であるとは、p を中心とする半径 r の開球体

B_{r}(p)=B(p;r)={x ∈ X | d(x,p)<r }
で、V に含まれるようなものが存在することをいう。

V が X の部分集合 S の一様近傍であるとは、正の実数 r > 0 が存在して、S の任意の点 p に対して

B_{r}(p)={x ∈ X | d(x,p)<r }
が V に含まれるときにいう。

各 r > 0 に対して、集合 S の r-近傍 Sr とは S からの距離が r より小さいような X の点全体の成す集合をいう。これは S の各点を中心とする半径 r の開球体全体の和集合が Sr であるといっても同じである。

従って直接的に、r-近傍が一様近傍であること、および、ある集合が一様近傍であるための必要十分条件が、その集合が適当な値の r に対する r-近傍を含むことであることなどが分かる。
(引用終り)

319 132人目の素数さん 2017/12/20(水) 07:45:29 ID:
>>318
> 例えば、x<0側から、x→0に近づくとき、無意識に”x の十分小さな近傍で、「y=0」を含まないように、εを取る”ようにしていないか?
> リプシッツ連続を考えるときは、それは上記(>>317)の記述に照らし合わせると、まずくないかい?

(横レスだが言わせてくれ)

そもそもオマエの独自用語『1点におけるリプシッツ連続』と通常の『リプシッツ連続』は違うだろうに!!!!
もういい加減にしろよ馬鹿者が

320 132人目の素数さん 2017/12/20(水) 07:46:11 ID:
おっちゃんです。
リプシッツ連続は高度な概念だと思っていたけど、リプシッツ連続って、
大学一年の微分積分の本である 杉浦 解析入門 に書いてあるみたいだよ。
よく分からないけど、杉浦 解析入門 を読めばいいんじゃないかい。

321 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/20(水) 09:51:12 ID:
>>319
>そもそもオマエの独自用語『1点におけるリプシッツ連続』と通常の『リプシッツ連続』は違うだろうに!!!!

当然だろ?
>>303より)
「Bf :={x ∈ R | lim sup y→x |(f(y) - f(x))/(y - x)|< +∞ }」
について(特に”< +∞”の場合)の説明文書は、ほとんどないよ
普通は
「|(f(y) - f(x))/(y - x)|< K }」(Kは有限)だよ

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%97%E3%82%B7%E3%83%83%E3%83%84%E9%80%A3%E7%B6%9A
(抜粋)
写像 f: X → Y がリプシッツ連続(あるいは単にリプシッツ)であるとは、実定数 K ? 0 が存在して

d_{Y}(f(x_{1}),f(x_{2}))/d_{X}(x_{1},x_{2}) <= K (∀ x_{1},x_{2}∈ X)}
を満たすときに言う。
(引用終わり)

ところで
些末だが
「(横レスだが言わせてくれ)」は、括弧()を外して
横レスだが言わせてくれ、 又は、 横レスだが言わせてくれ!
くらいにしてくれないかな? 括弧()の意味(定理の当事者との関係性)をつい考えて引っかかるのでね

322 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/20(水) 09:51:30 ID:
>>320
おっちゃん、どうも、スレ主です。
レスありがとう

323 132人目の素数さん 2017/12/20(水) 09:59:39 ID:
>>322
今になって面白いサイトを見つけたんだけど、この問題は某大学の演習問題だったみたいだよ。

324 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/20(水) 10:33:33 ID:
>>320
リプシッツという言葉を見たのは、多分制御理論だった(下記などご参照)
リプシッツは、なんどか見かけたが、あまり興味が無かったので、概略だけでスルーしていた(^^

今回のリプシッツで難しいかったのは、特に”< +∞”の場合を扱っているってところだ
ここは、ほとんど成書では、見かけないからね

(参考下記:このPDFの日付が分からないが、なかの歴史を見ると1997年か)
http://www.stannet.ne.jp/kazumoto/sussmann-willems_j.pdf
最適制御の300年:最速降下から最大値原理まで
ヘクターJ. サスマンとヤンC. ウィレムス
(抜粋)
 最適制御は1697年に誕生した.300年前のことである.オランダの北に位置する
グロニンゲンという大学街で1695年から1705年までその地の大学教授であった,ヨ
ハン・ベルヌーイが,最速降下問題の解法を公表した時であった.その1年前から彼は他の
同時代人たちにその問題を解くように挑戦状を叩き付けていたのである.私たちは,169
6年と1697年の出来事の物語のいくつか? その解法がヨハン・ベルヌーイやニュート
ン,ライプニッツ,チルンハウス,ロピタル,ヨハンの兄のヤコブ・ベルヌーイのような巨
人たちによって提出された時のこと? についてお伝えするつもりである.

経路が存在するということを妨げない.なぜなら,関数
√| y | はx 軸の近くではリプシッツ
ではないからである.(もしその関数がリプシッツであるのなら,常微分方程式の通常の一意
性定理によって,x 軸上にある1点を通るどの解も定数曲線でなくてはならない.)しかしな
がら,系を制御できるようにする同じリプシッツでない性質はまた,これらのすべてがリプ
シッツ参照ベクトル場を必要とするので,ロジャシヴィクツ表現を含む古典的かつ非平滑表
現において最大値原理を適用不能にするのである.
(引用終わり)

http://www.stannet.ne.jp/kazumoto/libraryj.html
Welcome to Dr. Kazumoto Iguchi's World
「井口和基博士と家族のホームページ」
井口和基 (C)2017

325 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/20(水) 10:34:26 ID:
>>324 関連
(参考:これも、ちょっと古いが検索ヒットしたので貼る)
http://www.orsj.or.jp/‾archive/pdf/bul/Vol.27_01_035.pdf
最適制御理論の動向(1) 坂本実 オベレーションズ・リサーチ 1982
http://www.orsj.or.jp/‾archive/
社団法人 日本オペレーションズ・リサーチ学会 アーカイブ集

326 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/20(水) 10:37:34 ID:
>>323
おっちゃん、どうも、スレ主です。

「この問題」とは?
正確にいうと?

327 132人目の素数さん 2017/12/20(水) 10:46:58 ID:
>>326
有理点で連続、無理点で不連続な実関数は存在しない。
このことを、某大学の演習で扱っていた。
これに関するサイトを見たときは、意外に思って、こんなことがあるのかって驚いたね。
サイトを挙げるのはよろしくないだろうから、やめておくけど。

328 132人目の素数さん 2017/12/20(水) 10:51:22 ID:
>>326
つまり原理的には、スレ主の方法論に則って、
文献を挙げることで真偽を判定して解決出来てしまう状態になっている。
信じられないことが起こっている。

329 132人目の素数さん 2017/12/20(水) 11:12:29 ID:
>>326
悪い、悪い。
よく見たら、今扱っている問題とは違った。
だけど、やり方がよく似ている。

330 132人目の素数さん 2017/12/20(水) 11:26:51 ID:
>>324
私は、確かα-ヘルダー連続の α=1 のときがリプシッツ連続にあたる
というような感じで出て来たね。一応、微分積分の副読本に書いてはあったけど。
リプシッツ連続やα-ヘルダー連続って、微分方程式とかでやるような概念だろ。

331 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/20(水) 11:28:32 ID:
>>327
>有理点で連続、無理点で不連続な実関数は存在しない。

そのまま
キーワード :有理点で連続、無理点で不連続な実関数は存在しない。

で検索すると

約 1,560 件 (0.77 秒)
検索結果
関数の連続性 - 問題が解けません。助けてください。お願いしま... - Yahoo ...
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp ? 教養と学問、サイエンス ? 数学 ? 大学数学
2009/06/22 - 関数の連続性. 問題が解けません。助けてください。お願いします。 f(x)=0 (xが無理数αの時) f(x)=1/q (xがp/qつまり有理数の時) とした時、f(x)が無理数の時は連続で、有理数の時は不連続であることを証明せよ。
ただし、稠密性(?)は用いてよいこととする。 つまり、Rの中にはある有理数について十分に近い無理数が存在しているということである。 稠密性のあたりの意味が全く分からず手に負えません。 できる方!!お願いします。
補足q_εの間にあるアンダーバーみたいなものの意味って何なんですか?
数学の問題です。次の関数が連 ... 回答(2) 2015年12月10日
有理数上で定義された関 ... 回答(1) 2015年4月15日
関数の連続性を調べよ1. 1 ... 回答(2) 2012年3月14日
detail.chiebukuro.yahoo.co.jp からの検索結果

連続性と微分可能性について - 新潟工科大学
takeno.iee.niit.ac.jp/‾shige/math/lecture/basic1/data/conti1.pdf
2008/08/26 - 連続性. 3. 0. 1 x y. 図 2: ディリクレ関数 fD(x) のグラフ. これはディリクレ関数と呼ばれるもので正確にグラフに表すことはできないが、
有理. 数、無理数はどんな実数 x の近くにも無数に存在し、よってどの x の近くでも関数は. 0, 1 の値を無限に繰り返し取るので、0 か 1 のどちらか一方の値に x の周りから近づ. くことはなく、
よってすべての x で不連続な関数である。 これを少し作りかえた次のような関数もある。 f1(x) =... 0 (x が無理数のとき). 1 p. (x が有理数でその既約表現が q p. のとき).

332 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/20(水) 11:30:24 ID:
>>330
おっちゃん、どうも、スレ主です。
私は、制御理論以外ではあまり記憶に残っていないね

333 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/20(水) 11:38:01 ID:
>>331 関連

これも検索ヒットしたのでご参考まで
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/‾kenkyubu/kokai-koza/okamoto.pdf
関数の歴史 - (RIMS), Kyoto University - 京都大学 岡本久
平成20年度(第30回)数学入門公開講座テキスト(京都大学数理解析研究所,平成20年8月4日~8月7日開催)

詳しいことは
岡本久・長岡亮介 著
関数とは何か
(近代科学者 2014年刊)
で説明してあります.

www.kurims.kyoto-u.ac.jp/‾kenkyubu/kokai-koza/okamoto.pdf
この関数は, 有理数と無理数. でばらばらに関数値を定義しているが, このようなものですら関数と認めていた
Bolzano には大きな先見. 性を認めざるを得ない (いたるところ不連続な関数を関数と認めたのは Dirichlet が最初であり, Bolzano. はそれより後のことではあるが.)
しかし, 彼のような偉大な思想家でも違いをおかすことはある. たと. えば, 彼は多変数の実関数について, 「各々の変数ごとに連続であれば多変数関数として連続である」と. いう定理を書いているが,
これはもちろん正しくはない. 不思議なことに同じ間違い ...

つづく

334 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/20(水) 11:38:54 ID:
>>333 つづき
(以下抜粋)
このファイルは公開講座の原稿から文献を抜き取ったものです.

昨今の大学では, 最も重要な知識だけをできるだけ短時間に教育することが最優先されていること
が多く, 数学の発展過程において天才数学者たちがいかに右往左往したか, ということにふれている余裕
がなくなっている. 本稿の目的は, 数学と言えどもその発展には多くの挫折が伴っていることを例示す
ることにある. 同時に, 数学上の発見というものをどう評価するか, という問題が非常に難しいことを指
摘したいと思う. ある命題の証明が誰によってなされたのかを特定することはときとして非常に難しい.
証明が完成されたことを100 点であるとしても, その前に99 点くらいまでもってきた人物がいることが
しばしばある. こういったときに, 99 から100 まで持ってきた人物が栄誉を独り占めすることがいいこ
とだとは思えない. こうした業績評価に関するコンセンサスは現在ではまだできているとはいえないが,
いずれ確立する必要がしょうずるであろう.
数学史の書物は多い. 関数の歴史についても多くの良書がある. たとえば, [?, ?, ?] などを読むと関
数に対する数学者のイメージがどういうふうに変遷してきたのかがわかる. 本稿はすでに定評のある文
献に書いてあることのまとめのようなものであり, 数学史としてのオリジナリティーを主張するつもりは
ない. ただ, 数学史の教科書には関数のグラフがほとんどあげられていないので, 関数の直感的なイメー
ジがつかみにくい. そこで, この講義ではできるだけ多くのグラフを提供することによって聴く人の便宜
を図った.
以下に書いてあることはできるだけ疑いの目をもって読んで欲しい. 数学史の書物・論文には正し
くないことが平気でのっていたりすることがある. 私もついうっかりそうした間違いを犯しているかも
しれない. 2次資料・3次資料の間違いを安易に引き写すことはあってはならないことであるが, なかな
かなくならないものである.
(引用終わり)

以上

335 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/20(水) 11:55:21 ID:
>>333
この岡本久先生のPDF、今読んでいるが、面白いよ(^^

336 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/20(水) 14:06:15 ID:
>>333 関連抜粋

"Rigorous thinking can be an obstacle to creativity.
と述べているが, 筆者もその通りであると思う."
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/‾kenkyubu/kokai-koza/okamoto.pdf
関数の歴史 - (RIMS), Kyoto University - 京都大学 岡本久
平成20年度(第30回)数学入門公開講座テキスト(京都大学数理解析研究所,平成20年8月4日~8月7日開催)
(抜粋)
Kline[?, 177 ページ] は

In one respect it was fortunate that Weierstrass’s example 20 came late in the development of the calculus,
for, as Picard said in 1905,
“If Newton and Leibniz had known that continuous functions need not necessarily have a derivative, the differential culculus would never have been created.”
Rigorous thinking can be an obstacle to creativity.

と述べているが, 筆者もその通りであると思う.

Bochner 「関数」という観念は, 数学や科学に対して最高級の重要性をもつ数学的対象である. この
観念を記述するには「対応」という言葉を使うのと「関係」という言葉を使うのと二つの主な道
があって, 両方ともよく意味を明らかにしてはくれる. しかし本当をいうと, 関数の観念は定義可
能なものではなく, 定義のつもりでいるもの(would-be definition) も実際は同語反復であるにすぎ
ない. (ボホナー, 科学史における数学(村田全, 訳), みすず書房(1970), S. Bochner, The Role of
Mathematics in the Rise of Science, Princeton University Press (1966) の和訳.) の164 ページ.

Weyl だれも函数とは何であるかを説明することはできない, しかしこれは数学において真に重大な事
柄である. (ヘルマン・ワイル, 数学と自然科学の哲学, 岩波書店(1959) の9 ページ)
(引用終わり)

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